一直一个圆(不知圆心)，单用圆规将圆四等分，写出做法，并给出证明。
一。仅用圆规四等分一个有圆心的圆是很容易的。
若把一个圆四等分后,则每段(圆四分之一的)弧所对的弦为√2R,故只要寻找到√2R的长即可解决问题。
作法:
(1)如上(左)图,在圆O上任取点A,以A为圆心、以AO的长为半径画弧，分别交圆O于B、C两点，再以C为圆心、AO的长为半径画弧交圆O于点D。
(2)分别以B、D为圆心，以AD的长为半径画弧，两弧交于点E。
(3)再从圆上任意一点开始,以OE(√2R)的长为半径依次画弧(截取)即可把圆O四等分。
【略证:】如上(右图),由作法可知,⊿AOB、⊿AOC、⊿COD均为正三角形，则B、O、D在同一直线上，BD(直径)=2R,∠BAD=90°...全部
一。仅用圆规四等分一个有圆心的圆是很容易的。
若把一个圆四等分后,则每段(圆四分之一的)弧所对的弦为√2R,故只要寻找到√2R的长即可解决问题。
作法:
(1)如上(左)图,在圆O上任取点A,以A为圆心、以AO的长为半径画弧，分别交圆O于B、C两点，再以C为圆心、AO的长为半径画弧交圆O于点D。
(2)分别以B、D为圆心，以AD的长为半径画弧，两弧交于点E。
(3)再从圆上任意一点开始,以OE(√2R)的长为半径依次画弧(截取)即可把圆O四等分。
【略证:】如上(右图),由作法可知,⊿AOB、⊿AOC、⊿COD均为正三角形，则B、O、D在同一直线上，BD(直径)=2R,∠BAD=90°。
∴AD=√(BD^2-AB^2)=√3R;
∵BE=DE;BO=DO。
∴OE⊥BD,故OE=√(BE^2-BO^2)=√2R。
二。仅用圆规找圆的圆心也可以做到。(见下两图)
作法:
(1)在所给圆上任取点A,以A为圆心,以小于该圆半径的长为半径画弧分别交该圆于B、C两点；
(2)在圆A上依次截取弧BD=弧DE=弧EF=弧BA;
(3)分别以A、F为圆心，以FC的长为半径画弧，两弧交于点G；
(4)以点G为圆心,以GA的长为半径画弧交圆A于H(如图);
(5)分别以B、A为圆心，以BH的长为半径画弧，两弧交于点O。
则点O即为所给圆的圆心。
【略证】
由作法可知,⊿ABD、⊿ADE、⊿AEF均为正三角形，B、A、F三点共线。
FC=FG=AG=GH;AF=AH;AG=AG。则⊿AGF≌ΔAGH(SSS),∠FAG=∠HAG。
AB=AH,则∠ABH=∠AHB。
∵∠FAH=∠ABH+∠AHB。
∴∠FAG=∠AFG=∠ABH=∠AHB,⊿AGF∽⊿BAH。
则AF/BH=AG/BA,故AF/BO=AC/AO=CF/BA,⊿ACF∽⊿OBA。
∴∠AFC=∠OBA;∠FAC=∠AOB。
则∠OAC=180°-∠OAB-∠FAC=180°-∠OBA-∠BOA=OAB;
又AB=AC,AO=AO,则⊿OAB≌ΔOAC(SAS),OB=OC=OA。
故点O即为所给圆的圆心。
◆本题的作图可分两步:(1)用圆规找圆心;(2)四等分有圆心的圆。收起
