幂函数y=a∧x-x-a有两个零
楼上证明过程的前五行都没有问题,但没有证得符合题意要求的结论。
题意要求是【恰】有两个零点,不是【至少】有两个零点。
必须严格排除两个以上零点的可能性。排除两个以上零点的可能性有三种方法,
(1)利用单调性,此法比较麻烦;
(2)利用凹凸性,此法比较特殊;
(3)利用反证法,比较简单易行,也便于接受理解。
若a>1时,函数 f(x)=a^x-x-a 有两个以上零点,取其中三个按从小到大排列:
p<q<r,f(p)=f(q)=f(r)=0,
在[p,q]、[q,r]区间上满足罗尔定理三个条件,
可知存在α∈(p,q),β∈(q,r),使f'(α)=f'(β)=0,
再次根据罗尔定理,可知...全部
楼上证明过程的前五行都没有问题,但没有证得符合题意要求的结论。
题意要求是【恰】有两个零点,不是【至少】有两个零点。
必须严格排除两个以上零点的可能性。排除两个以上零点的可能性有三种方法,
(1)利用单调性,此法比较麻烦;
(2)利用凹凸性,此法比较特殊;
(3)利用反证法,比较简单易行,也便于接受理解。
若a>1时,函数 f(x)=a^x-x-a 有两个以上零点,取其中三个按从小到大排列:
p<q<r,f(p)=f(q)=f(r)=0,
在[p,q]、[q,r]区间上满足罗尔定理三个条件,
可知存在α∈(p,q),β∈(q,r),使f'(α)=f'(β)=0,
再次根据罗尔定理,可知存在ξ∈(α,β),使f''(ξ)=0,
而实际上f''(ξ)=(a^ξ)(lna)^2≠0,于是得到矛盾。
所以f(x)=a^x-x-a有两个零点的充要条件是a>1。
。收起