一道数学题数列{an}满足：a1
去龚教授的博客，找不到这篇博文的详细内容，
自己又不知道错在哪儿，先上传，恭请教授点评。
(1)
a(n+1) =2a(n) -n^2 +3n, (n∈N*) --------- ①
a1 =1
a2 =4
a3 =10
a4 =20
。 。。
设p(n) =a(n) +λn^2 +μn------------------ ②
则p(n+1) =a(n+1) +λ(n+1)^2 +μ(n+1)
令p(n+1) =2p(n)
即
a(n+1) +λ(n+1)^2 +μ(n+1) =2[a(n) +λn^2 +μn]
整理得
a(n+1) =2a(n) +λn^2 +(μ-2λ)n -(λ...全部
去龚教授的博客，找不到这篇博文的详细内容，
自己又不知道错在哪儿，先上传，恭请教授点评。
(1)
a(n+1) =2a(n) -n^2 +3n, (n∈N*) --------- ①
a1 =1
a2 =4
a3 =10
a4 =20
。
。。
设p(n) =a(n) +λn^2 +μn------------------ ②
则p(n+1) =a(n+1) +λ(n+1)^2 +μ(n+1)
令p(n+1) =2p(n)
即
a(n+1) +λ(n+1)^2 +μ(n+1) =2[a(n) +λn^2 +μn]
整理得
a(n+1) =2a(n) +λn^2 +(μ-2λ)n -(λ+μ)
与 ① 比较得
λ =-1 ,μ =1
回代②，有
p(n) =a(n) -n^2 +n
也就是说
题设条件①可以变形为
[a(n+1) -(n+1)^2 +(n+1)] =2[a(n) -n^2 +n]
数列 { p(n) } 是公比q =2的GP。
a1 =1, p1 =1;
a1 =4, p2 =2;
a3 =10, p3 =4;
a4 =20, p4 =8;
。。。
p(n) =2^(n-1) ,(n∈N*)
a(n) =2^(n-1) +n^2 -n ,(n∈N*)
(2)
b(n) =1/n^2
Sn =b1 +b2 +b3 +。
。。+b(n)
=1 +1/4 +1/9 +1/16 +1/25 +1/(6×6) +1/(7×7) +。。。+1/(n×n)
＜1 +0。25 +0。1112 +0。0625 +0。04 +1/(6×6) +1/(7×7) +。
。。+1/(n×n)
= 1。4637 +1/(6×6) +1/(7×7) +。。。+1/(n×n)
显然，当n =2，3，4，5时
Sn ＜1。6666 ＜ 5/3
当n≥6时
Sn =1 +1/4 +1/9 +1/16 +1/25 +1/(6×6) +1/(7×7)+。
。。+1/(n×n)
＜ S5 +1/(5×6) +1/(6×7) +。。。+1/[(n-1）×n]
＜ 1。4637 +1/5 -1/n
＜ 1。6637
＜ 5/3
所以当n≥2时
Sn ＜ 5/3 。
设
Tn =6n/[(n+1)×(2n+1)]
=[n/(n+1)]×[6/(2n+1)]
T2 =12/15 ＜1
当n≥3时
6/(2n+1) ≤ 6/7 ＜1
Tn =6n/[(n+1)×(2n+1)]
=[n/(n+1)]×[6/(2n+1)]
＜n/(n+1)
＜1
所以当n≥2时
Tn ＜1 ＜Sn 。
。收起
