一道数学题已知数列{an}中，a
楼主我在这里用<>表示角标,*表示乘号,容易引起误会的地方尽量都打上括号。
楼主哪里不懂可以消息我哟!
[1]由已知: t≠1,t>0 得 a-a≠0
又因为a-a=t(a-a)且a-a=t(t-1)
可知数列{a-a}是以t(t-1)为首项,以t为公比的等比数列。
[2]
(i)当t≠1时
由[1]得:a-a=(t-1)*(t^n) 则有:
a-a=(t-1)*(t^n)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。{1}
a-a=(t-1)*[t^(n-1)]。 。。。。。。。。。。。。。。。{2}
a-a=(t-1)*[t^(n-2)]。。。。。。。。。。。。。。。。{3...全部
楼主我在这里用<>表示角标,*表示乘号,容易引起误会的地方尽量都打上括号。
楼主哪里不懂可以消息我哟!
[1]由已知: t≠1,t>0 得 a-a≠0
又因为a-a=t(a-a)且a-a=t(t-1)
可知数列{a-a}是以t(t-1)为首项,以t为公比的等比数列。
[2]
(i)当t≠1时
由[1]得:a-a=(t-1)*(t^n) 则有:
a-a=(t-1)*(t^n)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。{1}
a-a=(t-1)*[t^(n-1)]。
。。。。。。。。。。。。。。。{2}
a-a=(t-1)*[t^(n-2)]。。。。。。。。。。。。。。。。{3}
。。。
a-a=(t-1)t。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
。。。。。。。。。。。。。。。。{n-1}
叠加上述n-1个等式得:
a-a=(t-1)[t+t^2+t^3+。。。+t^(n-1)+t^n]=t^n-t
则:a=t^n (t>0,t≠1,n∈N*)
(ii)当t=1时 由题意易知:a=1 (t=1,n∈N*)
综上所述:数列{a}通项公式为a=t^n (t>0,n∈N*)
[3]由题意可知: 1/b = (1/2)*[t^n+t^(-n)]
令S=1/b+1/b+1/b+……+1/b
则有:
2*S=[t+t^2+t^3+。
。。+t^n]+[(1/t)+(1/t)^2+。。。+(1/t)^n]
=[t+1/t]+[t^2+(1/t)^2]+。。。+[t^n+(1/t)^n]
因为1/2 1
所以 2^(n/2 -1) > 1/2
所以 1/2+2^(n/2 -1) > 1
所以 2^(-n-1)+1/2 > 2^(-n/2)
所以 -2^(-n-1)-1/2 < -2^(-n/2)
所以 2^n-2^(-n-1)-1/2 < 2^n-2^(-n/2)。
。。。。。。。。。。。。。。。(#)
由(*)和(#)可知:S<2^n-2^(-n/2)
证毕。收起
