立体几何——距离问题已知二面角α
已知二面角α-PQ-β为60°,A和B分别在平面α和β上,点C在棱PQ上,∠ACP=∠BCP=30°,CA=CB=a。
1。求证:AB⊥PQ;2。点B到平面α的距离;
3。设R是线段CA上的一点,直线BR与平面α所成的角是45°,求线段CR的长度.
1。 证:作AD⊥PQ于D,连BD。
∵∠ACP=∠BCP=30°,CA=CB=a,CD=CD,
∴△ACD≌△BCD,
∴∠BDC=∠ADC=90°。
∴PQ⊥平面ABD,
∴AB⊥PQ。
解:2。由1。平面ACD⊥平面ABD于AD,过B作BE⊥AD于E,则BE⊥平面ACD。
由1。∠ADB是二面角α-PQ-β的平面角,已知二面角α-P...全部
已知二面角α-PQ-β为60°,A和B分别在平面α和β上,点C在棱PQ上,∠ACP=∠BCP=30°,CA=CB=a。
1。求证:AB⊥PQ;2。点B到平面α的距离;
3。设R是线段CA上的一点,直线BR与平面α所成的角是45°,求线段CR的长度.
1。
证:作AD⊥PQ于D,连BD。
∵∠ACP=∠BCP=30°,CA=CB=a,CD=CD,
∴△ACD≌△BCD,
∴∠BDC=∠ADC=90°。
∴PQ⊥平面ABD,
∴AB⊥PQ。
解:2。由1。平面ACD⊥平面ABD于AD,过B作BE⊥AD于E,则BE⊥平面ACD。
由1。∠ADB是二面角α-PQ-β的平面角,已知二面角α-PQ-β为60°,
∴∠ADB=60°。
∵∠BCD=30°,∠BDC=90°,BC=a,
∴BD=a/2,BE=(√3)a/4,为所求。
3。连ER,则∠BRE是BR与平面α所成的角,∴∠BRE=45°,
∴BR=√2BE=(√6)a/4。
在△ABD中,∠ADB=60°,∴AB=BD。
在△ABC中,cos∠BCA=[AC^2+BC^2-AB^2]/(2AC*BC)=7/8,
在△BCR中由余弦定理,BR^2=BC^2+CR^2-2BC*CR*cos∠BCA。
即3/8*a^2=a^2+CR^2-7/4*a*CR,
解得CR=a/2,或CR=5a/4(舍)。
图见上传文件。收起