高数 这个函数的表达式怎么求
根据你后面的描述,题目有误,应为:“x=f(t), y=cost”!
此外,题目中“X=f'(t)cost+f(t)” 应为“X=f'(t)cott+f(t)”,
“[f'(t)cost+f(t)-f(t)]^2” 应为 “[f'(t)cott+f(t)-f(t)]^2" !
解答如下:
x=f(t), y=cost, 则 x'=f'(t), y'=-sint, dy/dx=y'/x'=-sint/f'。
记切点 P(f(t),cost), 则切线L的斜率 k=-sint/f'(t), 切线L的方程为
Y-cost=[-sint/f'(t)][X-f(t)]。 令 Y=0,解得 X=f...全部
根据你后面的描述,题目有误,应为:“x=f(t), y=cost”!
此外,题目中“X=f'(t)cost+f(t)” 应为“X=f'(t)cott+f(t)”,
“[f'(t)cost+f(t)-f(t)]^2” 应为 “[f'(t)cott+f(t)-f(t)]^2" !
解答如下:
x=f(t), y=cost, 则 x'=f'(t), y'=-sint, dy/dx=y'/x'=-sint/f'。
记切点 P(f(t),cost), 则切线L的斜率 k=-sint/f'(t), 切线L的方程为
Y-cost=[-sint/f'(t)][X-f(t)]。 令 Y=0,解得 X=f(t)+f'(t)cott, 即切线L与X轴交点为
Q(f(t)+f'(t)cott, 0), 据题设 |PQ|=1,得 [-f'(t)cott]^2+(cost)^2=1,
[f'(t)cott]^2=1-(cost)^2=(sint)^2, 得 f'(t)cott=±sint, f'(t)=±(sint)^2/cost。
f(t)=±∫[(sint)^2/cost]dt=±∫{[1-(cost)^2]/cost}dt=±∫(sect-cost)dt
=±(ln|sect+tant|-sint)+C=±[ln|(1+sint)/cost|-sint]+C。
f(0)=0, 得 C=0, f(t)=±[ln|(1+sint)/cost|-sint]。
limf(t)=±lim[ln|(1+sint)/cost|-sint]=±(+∞)。
由 f(t)>0, 知道应取正号,又在 00,则
f(t)=ln[(1+sint)/cost]-sint。
验算:x=f(t)=ln[(1+sint)/cost]-sint, f(0)=0, x'=1/cost-cost,
y'=-sint, 切线L斜率 k=-sint/(1/cost-cost)=-cost/sint,
切线L方程 Y-cost=(-cost/sint){X-ln[(1+sint)/cost]-sint},
切线L与X轴交点 Q(ln[(1+sint)/cost], 0),
切点 P(ln[(1+sint)/cost]-sint, cost), 得|PQ|=1。
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