第十一届全国“华罗庚金杯”少年数
1)红线和黑线都等分木棍,则红线与黑线重合线,
必等分木棍,X条重合线将木棍分成X+1份
那么每一等份拥有的小等分木棍数是相同的。
所以m必是X+1的整数倍,即X+1是m的约数
同理X+1是n的约数,即(X+1)是m和n的公约数
(2)由于m>n,所以由红线分的木棍是最长的小木棍
红线将木棍等分成m份,本来有m根最长的小棍,除了红黑刻度线重合的以外,其余的每一条黑线都使原来的长木棍减少一根而变成两根短小木棍, n等分共有n-1条黑线。 其中重合的占了X条线,能使原来的长木棍变成两根短小木棍的条数为n-1-x,所以
短木棍条数应为:(n-1-x)×2=70,即(n-1-x)=35
长木棍...全部
1)红线和黑线都等分木棍,则红线与黑线重合线,
必等分木棍,X条重合线将木棍分成X+1份
那么每一等份拥有的小等分木棍数是相同的。
所以m必是X+1的整数倍,即X+1是m的约数
同理X+1是n的约数,即(X+1)是m和n的公约数
(2)由于m>n,所以由红线分的木棍是最长的小木棍
红线将木棍等分成m份,本来有m根最长的小棍,除了红黑刻度线重合的以外,其余的每一条黑线都使原来的长木棍减少一根而变成两根短小木棍, n等分共有n-1条黑线。
其中重合的占了X条线,能使原来的长木棍变成两根短小木棍的条数为n-1-x,所以
短木棍条数应为:(n-1-x)×2=70,即(n-1-x)=35
长木棍条数应为:m-(n-1-x)=100
所以m=100+35=135
因为 (n-1-x)=35,就是n-(x+1)=35
由于X+1是n的约数,所以X+1也是n-(X+1)的约数 ,即X+1也是35的约数,
又因为X+1又是m的约数,即X+1又是135的约数 。
所以X+1应是35和135的公约数。
而35和135的公约数是5。即X+1=5,所以n= 40
所以m=135,n=40
具体来说就是有4(x=4)条刻度线是重合的,每两条重合的刻度线之间有20根等长的长小棍(等于两红线之间的长),有14条不一定相等的短小棍。
共有等长长小棍5×20=100根,有短小棍5×14条=70根。
L共分为5段如下图所示的线段。请点一下图。
由于X+1是n的约数,所以X+1也是n-(X+1)的约数 理由是这样的:
由于X+1是n的约数,则有n=k(x+1)(这里k为自然数)
因n-(X+1)=k(x+1)-(X+1)=(k-1)(x+1)
所以X+1也是n-(X+1)的约数。收起