三角不等式在非钝角三角形ABC中
在非钝角三角形ABC中，求证:
(sinA)^4+(sinB)^4+(sinC)^4>=3/2 (1)
不等式(1)中的下界3/2是最佳的。
不等式(1)的证明有好几种，例如利用角变换或边变换将其转化为任意三角形的不等式，然后利用s-R-r方法证明。
下面给出一个中学生可以看懂的证明。
证明 令x=b^2+c^2-a^2,y=c^2+a^2-b^2,z=a^2+b^2-c^2，则由三角形ABC是非钝角三角形知:x,y,z>=0。 且a^2=(y+z)/2,b^2=(z+x)/2,c^2=(x+y)/2,于是
由余弦定理知
(1)[1-(cosA)^2]^2+[1-(cosB)^...全部
在非钝角三角形ABC中，求证:
(sinA)^4+(sinB)^4+(sinC)^4>=3/2 (1)
不等式(1)中的下界3/2是最佳的。
不等式(1)的证明有好几种，例如利用角变换或边变换将其转化为任意三角形的不等式，然后利用s-R-r方法证明。
下面给出一个中学生可以看懂的证明。
证明 令x=b^2+c^2-a^2,y=c^2+a^2-b^2,z=a^2+b^2-c^2，则由三角形ABC是非钝角三角形知:x,y,z>=0。
且a^2=(y+z)/2,b^2=(z+x)/2,c^2=(x+y)/2,于是
由余弦定理知
(1)[1-(cosA)^2]^2+[1-(cosB)^2]^2+[1-(cosC)^2]^2>=3/2
[1-(x/(2bc))^2]^2+[1-(y/(2ca))^2)^2+(1-(z/(2ab))^2)^2>=3/2
4(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)(xy+yz+zx)>=3(x+y)^2*(y+z)^2*(z+x)^2
x^2y^2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2+2xyz(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)
+6(xyz)^2>=0 (2)
不等式(2)显然成立，从而不等式(1)成立。
。收起
