两道数学题。1.已知方程x^2+
1。方程:x^2+y^2-2(t+3)x+2(1-4t^2)y+16t^4+9=0,左边配方:
[x-(t+3)]^2+[y-(4t^2-1)]^2=(t+3)^2+(4t^2-1)^2-16t^4-9
化简得:[x-(t+3)]^2+[y-(4t^2-1)]^2=1+6t-7t^2
即:[x-(t+3)]^2+[y-(4t^2-1)]^2=(1-t)(1+7t)
(1)如果方程表示圆,则(1-t)(1+7t)>0,
解得:-1/7<t<1,就是t的取值范围。
(2)动圆的圆心轨迹为:x=t+3 , y=4t^2-1 ,
消去t得:y=4(x-3)^2-1,又因为:20/7<t+3<4...全部
1。方程:x^2+y^2-2(t+3)x+2(1-4t^2)y+16t^4+9=0,左边配方:
[x-(t+3)]^2+[y-(4t^2-1)]^2=(t+3)^2+(4t^2-1)^2-16t^4-9
化简得:[x-(t+3)]^2+[y-(4t^2-1)]^2=1+6t-7t^2
即:[x-(t+3)]^2+[y-(4t^2-1)]^2=(1-t)(1+7t)
(1)如果方程表示圆,则(1-t)(1+7t)>0,
解得:-1/7<t<1,就是t的取值范围。
(2)动圆的圆心轨迹为:x=t+3 , y=4t^2-1 ,
消去t得:y=4(x-3)^2-1,又因为:20/7<t+3<4
动圆圆心的轨迹方程为:y=4(x-3)^2-1(20/7<x<4)
(3)由于t=3/7时,R^2=(1-t)(1+7t)有最大值R^2=16/7,
此时圆心 x=x=t+3=24/7,y=4t^2-1=4*(9/49)-1=13/49
面积最大的圆的方程为:(x-24/7)^2-(y+13/49)^2=16/7
2。
直线L与x轴,y轴的正半轴分别交于A(a,0)B(0,b)两点,
用两点式,写出L的方程:(x-0)/(y-0)=(a-0)/(0-b)
整理就得:bx+ay-ab=0,
圆的方程是(x-1)^2+(y-1)^2=1,圆心(1,1),半径是1,
(1)直线与圆相切,圆心到直线距离等于半径,
即有:|b+a-ab|/√(a^2+b^2)=1,去分母并两边平方得:
(b+a-ab)^2=a^2+b^2,
展开得:(a+b)^2-2ab(a+b)+(ab)^2=a^2+b^2
即2ab-2ab(a+b)+(ab)^2=0,两边约去2ab得:
2-2(a+b)+ab=0,即ab-2a-2b+2=0,即a(b-2)-2(b-2)-4=0
所以(a-2)(b-2)=4………………(1)
(2)设AB中点M(x,y),根据中点坐标公式求得
x=(a+0)/2=a/2,y=(0+b)/2=b/2,所以a=2x,b=2y,代入(1)式得:
(2x-2)(2y-2)=2,即(x-1)(y-1)=1/2,
因为a>2,所以x=a/2>1,同理:y>1
线段AB中点的轨迹方程是(x-1)(y-1)=1/2,(x>1,y>1)
(3)。
由(1)式:(a-2)(b-2)=2可得:a-2=2/(b-2)
即:a=2/(b-2)+2
设三角形ABO的面积是S,
则S=(1/2)ab=(1/2)[2/(b-2)+2]b=b+b/(b-2)
=b+[(b-2)+2]/(b-2)=b+1+2/(b-2)
=(b-2)+2/(b-2)+3≥2√[(b-2)*2/(b-2)]+3=3+2√2
等号当:(b-2)=2/(b-2)时成立,即(b-2)^2=2,所以b=2+√2,
此时:a=2/(b-2)+2=2+√2
所以,当a=b=2+√2时,三角形ABO面积最小值是3+2√2。
。收起