怎样求上表面压强于下表面压强的差

求天体球心处的压强一不可压缩的液

方法1。 一个不太严格但很简单的做法是，考虑一根底面在球心，顶面在天体表面的立方体柱子。假设底面积为A，如果能求出柱子的重量，除以底面积A就是压强。 为求重量，假设在半径为r处截取立方柱的一个高为（dr）的薄片。 我们来计算薄片的重量。为此我们需要知道在r处的重力加速度g(r)。根据高斯引力定律（Gauss' law for gravity），在均匀球体内g(r)是r的线性函数，就是说g(r) = g * r / R。 假设液体的密度是ρ，薄片的重量就是 F = m * g(r) = ρ * V * g * r / R = ρ * A(dr) * g * r/R = ρgA/R * ...全部

  方法1。 一个不太严格但很简单的做法是，考虑一根底面在球心，顶面在天体表面的立方体柱子。假设底面积为A，如果能求出柱子的重量，除以底面积A就是压强。 为求重量，假设在半径为r处截取立方柱的一个高为（dr）的薄片。
  我们来计算薄片的重量。为此我们需要知道在r处的重力加速度g(r)。根据高斯引力定律（Gauss' law for gravity），在均匀球体内g(r)是r的线性函数，就是说g(r) = g * r / R。
   假设液体的密度是ρ，薄片的重量就是 F = m * g(r) = ρ * V * g * r / R = ρ * A(dr) * g * r/R = ρgA/R * r(dr)。 对F从0到R积分，得到立方柱重量是 ρgA/R * (1/2)R^2 = (1/2)ρgAR。
   再除以A就得到压强为（1/2）ρgR。 如果不用积分，可以从g(r)的线性得出重力加速度的平均值为在球体表面的重力加速度的二分之一，也可以得出压强为（1/2）ρgR。 方法2。
   比较严格的做法是，利用液态球体在静态平衡下的压强方程（推导这个方程不太难，就是考虑一个很薄的立方体的上下表面压力差，再考虑薄立方体的重量，跟前面很相似，也可以考虑一层薄壳） dP / dr = - GMρ / r^2 = - Gρ^2 * (4/3)π r 这里P是压强，G是引力常数，M是半径为r的球体质量, M = ρ*(4/3)π r^3，ρ是密度，π是圆周率。
  对上述方程从0（球心）到R（球面）积分，可以得到 P(R) - P(0) = - Gρ^2 * (2/3)π R^2。 注意到球体表面重力加速度 g = F/m = (G m M / R^2) / m = Gρ(4/3)π R, 所以 G = (3/4)g / (πρR) 代人上面式子就可以得到 P(R) - P(0) = - Gρ^2 * (2/3)π R^2 = - (3/4)g / (πρR) * ρ^2 * (2/3)π R^2 = - (1/2)gρR 就是说球面压强P(R)跟球心压强P(0)的差是 -(1/2)gρR。
  如果假设球面压强为零（就是没有大气），那么球心压强为(1/2)gρR。 。收起