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高二数学椭圆题23.已知椭圆的中

设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0),F(c,0), 则直线AB的方程为y=x-c,代入椭圆化简得 (a²+b²)x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0。 令A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2a²c/(a²+b²) x1x2=(a²c²-a²b²)/(a²+b²)。 由向量OA+向量OB=(x1+x2,y1+y2),a=(3,-1)。向量...全部

  设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0),F(c,0), 则直线AB的方程为y=x-c,代入椭圆化简得 (a²+b²)x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0。
   令A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2a²c/(a²+b²) x1x2=(a²c²-a²b²)/(a²+b²)。
   由向量OA+向量OB=(x1+x2,y1+y2),a=(3,-1)。向量OA+向量OB与a共线,得 3(y1+y2)+(x1+x2)=0。所以x1+x2=3c/2 即2a²c/(a²+b²)=3c/2。
  所以a²=3b²,c=√6·a/3 离心率e=√6/3 证明：由上知a²=3b²,所以椭圆x²/a²+y²/b²=1化为 x²+3y²=3b²。
  设向量OM=(x,y),由已知,得(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2)。 所以x=λx1+μx2 y=λy1+μy2。 因为M(x,y)在椭圆上,所以(λx1+μx2)²+3(λy1+μy2)²=3b², 即λ²(x1²+3y1²)+μ²(x2²+3y2²)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b²……(1) 由前面得x1+x2=3c/2,a²=3c²/2,b²=c²/2。
   x1x2=(a²c²-a²b²)/(a²+b²)=3c²/8, x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c) ``````````=4x1x2-3(x1+x2)c+3c² ``````````=3c²/2-9c²/2+3c² ``````````=0。
   又x1²+3y1²=3b²,x2²+3y2²=3b²,代入(1),得λ²+μ²=1是定值。 记得加分啊呵呵。
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