不妨设椭球面内接长方体在第一卦限顶点为A(x,y,z), 则x>0, y>0, z>0,
得内接长方体棱长分别为2x,2y,2z ,体积 V=8xyz。
构造拉格朗日函数 F(x,y,z,λ)=8xyz+λ(x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1),
对x,y,z,λ分别求偏导数,得
8yz=-2λx/a^2 ①
8xz=-2λy/b^2 ②
8xy=-2λz/c^2 ③
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 ④
①/②,得 y=bx/a ,同理 z=cx/a,代入椭球方程④,得
x=a/√3 ,故 y=b/√3, z=c/√3,
于是 V=(8√3/9)abc。