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求解一道高数题,需要详细过程,谢谢!!

在椭球面(下图)内嵌入具有最大体积的长方体,求此体积。(最好用条件极值来做)

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2013-04-03

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    不妨设椭球面内接长方体在第一卦限顶点为A(x,y,z), 则x>0, y>0, z>0, 得内接长方体棱长分别为2x,2y,2z ,体积 V=8xyz。
     构造拉格朗日函数 F(x,y,z,λ)=8xyz+λ(x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1), 对x,y,z,λ分别求偏导数,得 8yz=-2λx/a^2 ① 8xz=-2λy/b^2 ② 8xy=-2λz/c^2 ③ x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 ④ ①/②,得 y=bx/a ,同理 z=cx/a,代入椭球方程④,得 x=a/√3 ,故 y=b/√3, z=c/√3, 于是 V=(8√3/9)abc。
  

2013-04-03

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在第一限内由拉格朗日法得f=x2/a2+y2/b2+z2/c2-1 求g=xyz 做拉格朗日函数 l=xyz+a(x2/a2+y2/b2+z2/c2-1)求其对xyz的偏倒 并使之为零得出三个方程 与原函数联立得 xyza的值此时体积为8xyz即是最大 这是方法 本人不擅长计算

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