垂足三角形问题设P是三角形ABC
命题 设P是三角形ABC内一点，点P在三边BC,CA,AB上的射影分别为D,E,F。则三角形DEF叫做点P的垂足三角形。试证点P的垂足三角形DEF的面积不超过三角形ABC面积的四分之一。
证明 设P点垂足ΔDEF面积为F,ΔABC面积为Δ，令PD=r1,PE=r2,PC=r3,BC=a,CA=b,AB=c,R表示三角形ABC的外接圆半径。 则有
F=[r2*r3*sinA+r3*r1*sinB+r1*r2*sinC]/2
=[a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2]/(4R)。
故命题转化为求证
a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2≤RΔ (1)
据恒...全部
命题 设P是三角形ABC内一点，点P在三边BC,CA,AB上的射影分别为D,E,F。则三角形DEF叫做点P的垂足三角形。试证点P的垂足三角形DEF的面积不超过三角形ABC面积的四分之一。
证明 设P点垂足ΔDEF面积为F,ΔABC面积为Δ，令PD=r1,PE=r2,PC=r3,BC=a,CA=b,AB=c,R表示三角形ABC的外接圆半径。
则有
F=[r2*r3*sinA+r3*r1*sinB+r1*r2*sinC]/2
=[a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2]/(4R)。
故命题转化为求证
a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2≤RΔ (1)
据恒等式:abc=4RΔ，则上式为
a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2≤abc/4 (2)
设P点的ΔABC重心坐标为P(x,y,z)，对(2)式作置换等价于
R^2*(x+y+z)^2≥yza^2+zxb^2+xyc^2 (3)
(3)展开化简为
(R*x)^2+(R*y)^2+(R*z)^2+(2*R^2-a^2)*yz+(2*R^2-b^2)*zx+(2*R^2-c^2)*xy≥0
上式配方整理得:
[R*x+(2*R^2-c^2)*y/(2R)+(2*R^2-b^2)*z/(2R)]^2
+[c*y*cosC-b*z*cosB]^2≥0，显然成立。
易验证当x:y:z=a*cosA:b*cosB:c*cosC即外心时，取等号。证毕。
。收起
