初中数学动点题一道,急如图,直线y=-
如图,直线y=-(3分之根号3)x+1与x轴y轴分别交于B、A两点,以AB为直角边的等腰直角三角形ABC的顶点C在第一象限且∠ABC=90度
(1)求A、B点坐标 (这问不用做,答案是A(0,1)B(根号3,0))
因为直线方程为:y=(-√3/3)x+1
所以,它与y轴的交点,即x=0时,y=1
则:A(0,1)
它与x轴的交点,即y=0时,x=√3
则:B(√3,0)
(2)将△ABC以每秒1个单位长度的速度延x轴平行移动,移动时间为t(秒)平移后三角形记作△AtBtCt,设平移过程中△AtBtCt与四边形AOBC重叠部分面积为S。 试探究S与t的关系式并写出自变量t的取值范围(有三...全部
如图,直线y=-(3分之根号3)x+1与x轴y轴分别交于B、A两点,以AB为直角边的等腰直角三角形ABC的顶点C在第一象限且∠ABC=90度
(1)求A、B点坐标 (这问不用做,答案是A(0,1)B(根号3,0))
因为直线方程为:y=(-√3/3)x+1
所以,它与y轴的交点,即x=0时,y=1
则:A(0,1)
它与x轴的交点,即y=0时,x=√3
则:B(√3,0)
(2)将△ABC以每秒1个单位长度的速度延x轴平行移动,移动时间为t(秒)平移后三角形记作△AtBtCt,设平移过程中△AtBtCt与四边形AOBC重叠部分面积为S。
试探究S与t的关系式并写出自变量t的取值范围(有三种情况)
因为△ABC是是沿x轴平行移动,所以B点始终在x轴上,并且AB、BC的方向均不变。所以,点C已知是在一条平行于x轴的直线上移动(如图中最上端平行于x轴的红色直线)
那么:
i)
当△ABC沿x轴的正方向移动时
由(1)知道,Rt△AOB中,AO=1,BO=√3
所以,由勾股定理有AB=2
则,∠ABO=30°,且BC=AB=2
若△ABC的顶点刚好移动到BC上,因为AtBt//AB
所以,∠AtBtB=∠ABO=30°,且AtBt=AB=2
所以,BBt=2*(√3/2)=√3
因为△ABC的移动速度为1单位/s,所以:
t=(√3)/1=√3 s
那么,当t≥√3 s时,△AtBtCt就与四边形AOBC没有重叠部分(t=√3 s时,At点正好在BC上,但是它们重叠的面积可以认为是0),故此时S=0
当0≤t<√3 s时,△AtBtCt就与四边形AOBC有重叠部分。
此时,设AtBt与BC相交于点D,AtCt与BC相交于点E
那么,BBt=t*1=t
因为AtBt//AB,所以:∠DBtB=30°
那么:DBt=BBt*(√3/2)=(√3/2)t
所以,AtD=AtBt-DBt=2-(√3/2)t
而,△AtDE仍然是等腰直角三角形,所以:DE=AtD
所以,它们重叠部分的面积(图中蓝色部分)S=(1/2)*AtD*DE
=(1/2)*[2-(√3/2)t]^2
所以,当△ABC沿x轴正方向移动时,就有:
当0≤t<√3 s时,S=(1/2)*[2-(√3/2)t]^2
当t△≥√3 s时,S=0
ii)
当△ABC沿x轴负方向移动时
若A点刚好落在BtCt上,那么:
因为BtCt//BC,而BC⊥AB
所以,BtCt⊥AB
即,△BABt为直角三角形
而,∠ABBt=30°,AB=2
所以,BBt=AB/(√3/2)=4√3/3
因为△ABC的移动速度为1单位/s,所以:
t=(4√3/3)/1=4√3/3 s
那么,当t△≥4√3/3 s时,△AtBtCt就与四边形AOBC没有重叠部分(t=4√3/3 s时,A点正好在BtCt上,但是它们重叠的面积可以认为是0),故此时S=0
又,当B点运动到O点时,t=(√3)/1=√3 s
所以,当0≤t≤√3 s时,△AtBtCt就与四边形AOBC有重叠部分。
此时,设AB与BtCt相交于点P,AC与BtCt相交于点Q,AtBt与AO相交于点M。
那么,重叠部分的面积S由两部分构成,一个是等腰直角三角形APQ,一个是直角梯形AMBtP
那么,BBt=t*1=t
因为∠ABO=30°
那么,PB=BBt*(√3/2)=(√3/2)t,PBt=BBt*(1/2)=t/2
且OBt=OB-BBt=√3-t
而,MBt//AB,所以:∠MBtO=30°
所以,AP=AB-PB=2-(√3/2)t
MBt=OBt/(√3/2)=(√3-t)/(√3/2)=(6-2√3t)/3
而,△APQ仍然是等腰直角三角形,所以:PQ=AP
所以,等腰直角△APQ的面积S1=(1/2)*AP*PQ
=(1/2)*[2-(√3/2)t]^2
而,直角梯形AMBtP的面积S2=(1/2)*[MBt+AP]*BtP
=(1/2)*[(6-2√3t)/3+2-(√3t/2)]*(t/2)
所以,它们重叠部分的面积(图中灰色部分)S=S1+S2
=(1/2)*[2-(√3/2)t]^2+(1/2)*[(6-2√3t)/3+2-(√3t/2)]*(t/2)
=[(9-7√3)/24]t^2-(√3-1)t+2
当√3 s<t<4√3/3 s时,它们重叠的部分就是一个三角形
仍然设AtBt与AO相交于点M,AB与BtCt相交于点P,AC与BtCt相交于点Q,那么它们重叠的部分就是△AMQ(图中紫色部分)
此时,仍然有:
BBt=t,PB=BBt*(√3/2)=√3t/2
AP=AB-BP=2-(√3t/2)
此时,△APQ仍为等腰直角三角形,所以:PQ=AP=2-(√3t/2)
而,∠AMP=∠OMBt=∠ABO=30°
所以,MP=AP*√3=2√3-(3t/2)
所以,QM=PQ+PM=2-(√3t/2)+2√3-(3t/2)=(2+2√3)-[(3+√3)t/2]
由于MQ//BC,而BC⊥AB
所以,MQ⊥AP
即,AP为△AMQ的高
则,重叠部分的面积S=(1/2)*QM*AP
=(1/2)*[2+2√3t-(3+√3)t/2]*[2-(√3t/2)]
=(3-3√3)t^2/4-(3t/2)+2。收起