一道有点难度的多维随机变量证明题
记φ{X}(t)为X的特征函数,则φ{X}(t)=φ{Y}(t)=φ(t)。
1。
由于X,Y相互独立,X+Y,X-Y相互独立。
φ{X+Y}(t)=φ{X}(t)φ{Y}(t)=[φ(t)]^2
φ{X-Y}(t)=φ{X}(t)φ{-Y}(t)=φ(t)φ(-t)=|φ(t)|^2
==>
φ(t)=φ{X/2+Y/2+X/2-Y/2}(t)=
=φ{X/2+Y/2}(t)φ{X/2-Y/2}(t)=
=φ{X+Y}(t/2)φ{X-Y}(t/2)=
=[φ(t/2)]^2|φ(t/2)|^2
2。
由于φ(0)=1,且φ(t)有2阶连续导数。
==》
有a>0,|φ(t)|>0在...全部
记φ{X}(t)为X的特征函数,则φ{X}(t)=φ{Y}(t)=φ(t)。
1。
由于X,Y相互独立,X+Y,X-Y相互独立。
φ{X+Y}(t)=φ{X}(t)φ{Y}(t)=[φ(t)]^2
φ{X-Y}(t)=φ{X}(t)φ{-Y}(t)=φ(t)φ(-t)=|φ(t)|^2
==>
φ(t)=φ{X/2+Y/2+X/2-Y/2}(t)=
=φ{X/2+Y/2}(t)φ{X/2-Y/2}(t)=
=φ{X+Y}(t/2)φ{X-Y}(t/2)=
=[φ(t/2)]^2|φ(t/2)|^2
2。
由于φ(0)=1,且φ(t)有2阶连续导数。
==》
有a>0,|φ(t)|>0在(-a,a)上。
==》
f(t)=ln|φ(t)|=ln|φ(t/2)|^4=4f(t/2)
==>
f''(t)=ln|φ(t)|=ln|φ(t/2)|^4=f''(t/2)
=f''(t/2^2)=。
。。=f''(t/2^n)
==>
f''(t)=Lim{n→∞}f''(t/2^n)=f''(0)
==>
在(-a,a)上,f(t)=At^2+Bt+C
而f(0)=0==》
f(t)=At^2+Bt
==》
在(-∞,+∞)上,|φ(t)|>0,
且|φ(t)|=e^[At^2+Bt]。
3。
由于|φ(t)|≤1。
==》
在(-∞,+∞)上,At^2+Bt≤0
==》B=0,A≤0。
4。
φ(t)=e^[At^2+g(t)i]
==>
e^[g(t)i]=e^[2g(t/2)i]
==>
g(t)=2g(t/2)+2kπ
==>
g'(t)=g'(t/2)
==>
g'(t)=g'(0)
==>
g(0)==>g(t)=Dt
==>
φ(t)=e^[At^2+Dti]
5。
若A=0
==>
P(X=D)=1,和X连续型随机变量矛盾。
所以φ(t)=e^[At^2+Dti],其中A
X服从正态分布。
。收起