高数题证明不等式:x/(1+x)
法一：用拉格朗日中值定理：
对于任意的x＞0，取函数f(t)＝ln(1＋t)，t∈[0，x]。 则f(t)在[0，x]上连续，在(0，x)内可导，所以存在一点ξ∈(0，x)，使得
[f(x)－f(0)]/x＝ln(1+x)/x＝f'(ξ)＝1/(1＋ξ)
因为 0＜ξ＜x，所以 1/(1＋x)＜1/(1＋ξ)＜1，
所以 1/(1＋x)＜ln(1+x)/x＜1
此即 x/(1＋x) ＜ ln(1+x) ＜x
[参考资料]：10月20日 14:10回答：robynme级别：智者
法二：用导数证明单调性：
构造函数 f(x) = ln(1+x) - x/(1+x) = ln(1+x) - ...全部
法一：用拉格朗日中值定理：
对于任意的x＞0，取函数f(t)＝ln(1＋t)，t∈[0，x]。
则f(t)在[0，x]上连续，在(0，x)内可导，所以存在一点ξ∈(0，x)，使得
[f(x)－f(0)]/x＝ln(1+x)/x＝f'(ξ)＝1/(1＋ξ)
因为 0＜ξ＜x，所以 1/(1＋x)＜1/(1＋ξ)＜1，
所以 1/(1＋x)＜ln(1+x)/x＜1
此即 x/(1＋x) ＜ ln(1+x) ＜x
[参考资料]：10月20日 14:10回答：robynme级别：智者
法二：用导数证明单调性：
构造函数 f(x) = ln(1+x) - x/(1+x) = ln(1+x) - 1 + 1/(1+x)
f'(x) = 1/(1+x) - 1/(1+x)^2 = x/(1+x)^2
当 x > 0 时 ，显然恒有 f'(x) > 0
所以 f(x) 在 x > 0 上是增函数
而 “f(0)”= 0
故当 x > 0 时，总有 f(x) > 0 ， 所以 ln(1+x) > x/(1+x) ；
构造函数 g(x) = ln(1+x) - x
g'(x) = 1/(1+x) - 1 = -x/(1+x)
当 x > 0 时 ，显然恒有 g'(x) 0 上是减函数
而 “g(0)”= 0
故当 x > 0 时，总有 g(x) 0 时，总有 x/(1+x) < ln(1+x) < x
（说明）上面的“f(0)”、“g(0)”之所以加引号，是因为它们代表的是函数在 x→0 时的极限值，而非真正的函数值
。收起
