请教一个不等式的证明题，先谢谢了！

请教一个不等式设x,y,z∈R+

设x,y,z∈R+,x^2+y^2+z^2=3。试证 21+18xyz≥13(yz+zx+xy) (A) 这个不等式想了好久，无从下手。请教高手，现将证明附上。 证明如下 ∵x,y,z∈R+,x^2+y^2+z^2=3。 ∴所证不等式等价于 7(x^2+y^2+z^2)+18xyz≥13(yz+zx+xy) (1) 如果 7(x^2+y^2+z^2)≥13(yz+zx+xy),那么(1)式显然成立。 下面仅需在13(yz+zx+xy)>7(x^2+y^2+z^2)条件不证明(1)式成立。 下面先证 18/[√(3∑x^2)+∑x]>8/∑x ...全部

  设x,y,z∈R+,x^2+y^2+z^2=3。试证 21+18xyz≥13(yz+zx+xy) (A) 这个不等式想了好久，无从下手。请教高手，现将证明附上。
   证明如下 ∵x,y,z∈R+,x^2+y^2+z^2=3。 ∴所证不等式等价于 7(x^2+y^2+z^2)+18xyz≥13(yz+zx+xy) (1) 如果 7(x^2+y^2+z^2)≥13(yz+zx+xy),那么(1)式显然成立。
   下面仅需在13(yz+zx+xy)>7(x^2+y^2+z^2)条件不证明(1)式成立。 下面先证 18/[√(3∑x^2)+∑x]>8/∑x (2) (2) 5∑x>4√(3∑x^2) 上式平方得: 50∑yz>23∑x^2 由条件 13(yz+zx+xy)>7(x^2+y^2+z^2)即知上式成立。
   故(2)式成立。 (1)式齐次化为 (7∑x^2-13∑yz)*∑x^2+18xyz∑x+18xyz[√(3∑x^2)-∑x]≥0 (3) ∵18xyz[√(3∑x^2)-∑x] =18xyz[3∑x^2-(∑x)^2]/[√(3∑x^2)+∑x] =18xyz*∑(y-z)^2/[√(3∑x^2)+∑x] ≥8xyz*∑(y-z)^2/∑x ∴欲证(3)式,只需证 (7∑x^2-13∑yz)*∑x^2+18xyz∑x+8xyz*∑(y-z)^2/∑x≥0 (4) (4) (7∑x^2-13∑yz)∑x*∑x^2+xyz[18(∑x)^2+8∑(y-z)^2]≥0 (5) (5)式展开化简为 7∑x^5-6∑x^4*(y+z)+∑x^3*(y^2+z^2)-xyz(5∑x^2-8∑yz)≥0 (6) 设x=min(x,y,z),(6)式分解为 [7x^3+x^2*(y+z)+2x(y^2+z^2)-10xyz+2yz(y+z)](x-y)(x-z)+ [3x^2*(y+z)-6x(y^2+z^2)-17xyz+7(y^3+z^3)+8yz(y+z)](y-z)^2≥0 (7) ∵ 7x^3+x^2*(y+z)+2x(y^2+z^2)-10xyz+2yz(y+z) =7x^3+(y+z)(x-y)(x-z)+3x(y-z)^2+yz(y+z-2x)>0 3x^2*(y+z)-6x(y^2+z^2)-17xyz+7(y^3+z^3)+8yz(y+z) =3x^2*(y+z)+6(y-x)y^2+6(z-x)z^2+(y+z)(y-z)^2+yz(9y+9z-17x)>0。
   ∴(7)式成立。从而不等式(7)得证。 。收起