高手进,解答数学不等式证明题1.
1。x,y,z是正实数,x+y+z=xyz。求证(x+y)/z+(x+z)/y+(y+z)/x 大于等于2(1/x+1/y+1/z)平方
就是证明
(y+z)/x+(z+x)/y+(x+y)/z≥2(1/x+1/y+1/z
xyz[yz(y+z)+zx(z+x)+xy(x+y)]≥2(yz+zx+xy)^2
∵x+y+z=xyz,∴等价于
(x+y+z)*[yz(y+z))+zx(z+x)+xy(x+y)]≥2(yz+zx+xy)^2
上式展开整理为
(y+z)x^3+(z+x)y^3+(x+y)z^3-2xyz(x+y+z)≥0
x(y+z)(y-z)^2+y(z+x)(z-x)^2+z...全部
1。x,y,z是正实数,x+y+z=xyz。求证(x+y)/z+(x+z)/y+(y+z)/x 大于等于2(1/x+1/y+1/z)平方
就是证明
(y+z)/x+(z+x)/y+(x+y)/z≥2(1/x+1/y+1/z
xyz[yz(y+z)+zx(z+x)+xy(x+y)]≥2(yz+zx+xy)^2
∵x+y+z=xyz,∴等价于
(x+y+z)*[yz(y+z))+zx(z+x)+xy(x+y)]≥2(yz+zx+xy)^2
上式展开整理为
(y+z)x^3+(z+x)y^3+(x+y)z^3-2xyz(x+y+z)≥0
x(y+z)(y-z)^2+y(z+x)(z-x)^2+z(x+y)(x-y)^2≥0
上式显然成立。
此不等式如果用三角代换,会很繁,常规是三角代换。
2 a b c是正实数,判断a,b,c的立方和 与 a2b+b2c+c2a的大小
a^3+b^3+c^3≥a^2*b+b^2*c+c^2*a
因为有全对称不等式:
∑a^3+3abc≥∑(b+c)a^2 (1)
(1)式证明你肯定会吧!
附论(1)式。
设a=min(a,b,c)。(1)式分解为
a(a-b)*(a-c)+(b+c-a)*(b-c)^2≥0,显然成立。
(1)又等价于
abc≥(b+c-a)*(c+a-b)(a+b-c)
(1)
∑a^3≥a^2*b+b^2*c+c^2*a+[ab^2+bc^2+ca^2-3abc]
∵ab^2+bc^2+ca^2≥3abc [均值不等式]
∴∑a^3≥a^2*b+b^2*c+c^2*a
3 求y=3根号(x-5)+4根号(6-x)的最大值
y的最大值为5。
设x-5=(sina)^2,6-x=(cosa)2。
y=3sina+4cosa=5sin(a+z)≤5
其中 sinz=4/5,cosz=3/5。
。收起