a,b,x,y均为正数,且a+b=1,求
题目好像有问题: 假设欲求证之不等式成立,即ax^n+by^n>(ax+bx)^n, 因为a+b=1,所以(ax+bx)^n=x^n,
因此 by^n > x^n - ax^n = bx^n,
那么 有y^n > x^n。
显然根据题目所给条件,这一不等式可能不成立。
假设题中之n为>=2之正整数,那么可以用数学归纳法证明 ax^n+by^n>=(ax+by)^n。
首先, 当n=2时,
ax^2+by^2-(ax+by)^2
=(a-a^2)x^2+(b-b^2)y^2-2abxy
=a(1-a)x^2+b(1-b)y^2-2abxy
=abx^2+aby^2-2abxy
=ab(x...全部
题目好像有问题: 假设欲求证之不等式成立,即ax^n+by^n>(ax+bx)^n, 因为a+b=1,所以(ax+bx)^n=x^n,
因此 by^n > x^n - ax^n = bx^n,
那么 有y^n > x^n。
显然根据题目所给条件,这一不等式可能不成立。
假设题中之n为>=2之正整数,那么可以用数学归纳法证明 ax^n+by^n>=(ax+by)^n。
首先, 当n=2时,
ax^2+by^2-(ax+by)^2
=(a-a^2)x^2+(b-b^2)y^2-2abxy
=a(1-a)x^2+b(1-b)y^2-2abxy
=abx^2+aby^2-2abxy
=ab(x-y)^2 >= 0
所以 ax^2+by^2>=(ax+by)^2
假设 ax^(n-1)+by^(n-1)>=(ax+by)^(n-1)
则有
(ax^(n-1)+by^(n-1))(ax+by)
=a^2x^n+b^2y^n+abx^(n-1)y+abxy^(n-1)
>=(ax+by)^n
又(ax^n+by^n)-(a^2x^n+b^2y^n+abx^(n-1)y+abxy^(n-1))
=ab(x^(n-1)-y^(n-1))(x-y) >= 0
所以(ax^n+by^n)
>=(a^2x^n+b^2y^n+abx^(n-1)y+abxy^(n-1))
>=(ax+by)^n
所以 ax^n+by^n>=(ax+by)^n。
。收起
