最小值如果一个正四棱锥的表面积和体积在数值上大小,求该四棱锥的体积的最小值.
在数值上大小——“一样”?
设正四棱锥底面边长a,高b,斜高h=√(a²/4+b²)
表面积S=a²+4×(1/2)ah=a²+a√(a²+4b²)
体积V=(1/3)a²b
由V=S得:b=6a²/(a²-36)
V=(1/3)a²[6a²/(a²-36)]=2a^4/(a²-36)=2a²+72+72×36/(a²-36)
=2(a²-36)+72×36/(a²-36)+144≥2√(2×72×36)+144=288
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在数值上大小——“一样”?
设正四棱锥底面边长a,高b,斜高h=√(a²/4+b²)
表面积S=a²+4×(1/2)ah=a²+a√(a²+4b²)
体积V=(1/3)a²b
由V=S得:b=6a²/(a²-36)
V=(1/3)a²[6a²/(a²-36)]=2a^4/(a²-36)=2a²+72+72×36/(a²-36)
=2(a²-36)+72×36/(a²-36)+144≥2√(2×72×36)+144=288
当且仅当a=6√2,b=6时,体积最小为288。
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