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整式乘法与因式分解 整式乘法与因式分解的公式嗷嗷w(ﾟДﾟ)w求学霸教我嗷嗷嗷！要公式嗷嗷嗷！我超急滴！

因式分解,也叫分解因式,因式分解,是主谓短语,分解因式,是动宾短语,就是把多项式,变成一个个式子相乘的形式；如果需要示意图,就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”,“月” 和 “目” 就是长为 3,宽分别是 a、b 的两个长方形,写成 3a 3b 像 “朋” 就是一个两项式,如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”,就是 3(a b) 的一个长方形,把 3a 3b 两项相加的式子变成 3(a b) 乘积的式子,就是因式分解。 分解因式,也正如分解质因数,分解质因数,是要把整数变成一个个质数的乘积,在因数中去掉合数；分解因式,就是把整式变成一个个因式的乘积,尽量降低各...全部

  因式分解,也叫分解因式,因式分解,是主谓短语,分解因式,是动宾短语,就是把多项式,变成一个个式子相乘的形式；如果需要示意图,就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”,“月” 和 “目” 就是长为 3,宽分别是 a、b 的两个长方形,写成 3a 3b 像 “朋” 就是一个两项式,如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”,就是 3(a b) 的一个长方形,把 3a 3b 两项相加的式子变成 3(a b) 乘积的式子,就是因式分解。
  分解因式,也正如分解质因数,分解质因数,是要把整数变成一个个质数的乘积,在因数中去掉合数；分解因式,就是把整式变成一个个因式的乘积,尽量降低各个因式的次数,具体方法,【第一步,提取公因式】这也是最简单的方法,公因式不仅有：系数、字母、单项式（这些相信我们都熟悉了）,而且,公因式还可能是一个式子,例如 (a b)(3m 2n) (2m 3n)(a b),公因式是 (a b)原式 = ( a b )( 3m 2n 2m 3n )= ( a b )( 5m 5n ) ——这样再提取系数 5= 5( a b )( m n )【第二步,公式法】就是把整式乘法的公式倒过来用,a" - b" = (a - b)(a b) ——平方差,a" 2ab b" = (a b)" ——完全平方和,a" - 2ab b" = ( a - b )" ——完全平方差,a"' b"' = (a b)(a" - ab b") ——立方和,a"' - b"' = ( a - b )(a" ab b") ——立方差,熟悉公式,熟悉平方数、立方数是关键,【平方差】还有两个完全平方相减的式子,例如 9( x y )" - 4( x y - 1 )"= [ 3(x y) - 2(x y - 1) ][ 3(x y) 2(x y - 1) ]= ( 3x 3y - 2x - 2y 2 )( 3x 3y 2x 2y - 2 )= ( x y 2 )( 5x 5y - 2 )【完全平方式】应该注意( a - b )"= [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )"= a" - 2ab b" = b" - 2ab a"而且( a - b )" = [ a ( - b ) ]"= a" - 2ab b" = a" 2a(-b) (-b)"公式或许就只有一个( a b )" = a" 2ab b"不管是和的平方,还是差的平方,最先也都是平方和,a" - 2ab - b" 就错了。
  【立方和、立方差】原来两个三次项,分解因式变成五个项,两个是一次项、三个是二次项,a"' b"' = ( a b )( a" - ab b" )a"' - b"' = ( a - b )( a" ab b" )我们看看特征,两个一次项 a 和 b,正负与原来的三次项 a"' 和 b"' 一样；三个二次项,a" b" 还是平方和,中间项 ab 就要与一次项相反。
  或者,看分解因式的五个项,立方和,只有二次项 ab 为负,其余全都是正；立方差,除了一次项 b 为负,其余全都是正。想一想,二次项 ab,如果立方和换成 ab,立方差换成 -ab,再变成 2 不就成了完全立方吗?怎么是立方和、立方差呢?( a b )( a" 2ab b" ) =( a b )( a b )" =( a b )"'( a - b )( a" - 2ab b" ) = ( a - b )( a - b )" = ( a - b )"'这样看来,立方和是 -ab,立方差是 ab,就是要加大与完全立方的差别啊!为了熟悉公式,我们也应该取简单的数字算一算,2"' - 1"' = 8 - 1= 7 = 1 X 7= ( 2 - 1 )( 4 2 1 )= ( 2 - 1 )( 2" 2 1 )相信我们都知道,分解因式是这五个项,相对困难就是正负符号,不知怎样确定,这样只要算一算,就能够帮助自己确定符号了。
  【第三步,二次三项式分解】我建议,十字相乘法,结合分组分解法一同使用,正如 x" (a b)x ab = ( x a )( x b )把单项式 mx = (a b)x ,拆开变成 ax bx ,就能够分组提公因式进行分解。
  【】关键是看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二,如果常数项是正数,一次项的绝对值,就是拆开两个项的和；如果常数项是负数,一次项的绝对值,就是拆开两个项的差。前面已经说过,完全平方,b" 必然都是 b",x" 10x 25 = ( x 5 )"x" - 10x 25 = ( x - 5 )"再看看 x" ± 10x ± 24,分解因式 4 种情况都有,【】如果常数项是正数,一次项拆开两个项的绝对值,就都比原来小；x" 10x 24= x" 4x 6x 24= x( x 4 ) 6( x 4 )= ( x 4 )( x 6 )常数项 24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 4x 与 6x 的和,x" - 10x 24= x" - 4x - 6x 24= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )= ( x - 4 )( x - 6 )【】如果常数项是负数,一次项的绝对值,就是拆开两个项的相差数；x" - 10x - 24= x" - 12x 2x - 24= x( x - 12 ) 2( x - 12 )= ( x - 12 )( x 2 )常数项 -24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 12x 与 2x 的相差数,x" 10x - 24= x" 12x - 2x - 24= x( x 12 ) - 2( x 12 )= ( x 12 )( x - 2 )这样我们也就发现,【】为什么看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二呢?这是因为：常数项不变,只是一次项变成相反数,一次项一分为二的绝对值就不变；一次项不变,只要常数项变成相反数,一次项就要改变一分为二的方式；像这样的二次三项式,还有x" ± 5x ± 6,x" ± 10x ± 24,x" ± 15x ± 54,x" ± 20x ± 96,x" ± 25x ± 150,……其实,它们都是 x" ± 5xy ± 6y" ,这个式子千变万化,还有6x" ± 5x ± 1,6x" ± 10x ± 4,6x" ± 15x ± 9,6x" ± 20x ± 16,6x" ± 25x ± 25,……这样的式子还不只一个,还有8x" ± 26x ± 15,8x" ± 52x ± 60,8x" ± 78x ± 135,8x" ± 104x ± 240,8x" ± 130x ± 375,……其实,这样也都是 8x" ± 26xy ± 15y" ,这个千变万化的式子,同样还有15x" ± 26x ± 8,15x" ± 52x ± 32,15x" ± 78x ± 72,15x" ± 104x ± 128,15x" ± 130x ± 200,……它们包括了多种具体情况,让我们也都取值做一做,感受一下其中的奥秘吧。
  【】二次三项式,分解因式,这样也是技巧、窍门,关键就看 c 与 a 的正负,只要熟悉这个方法,x" bx c,ax" bx c,ax" bxy cy",我们都同样做得方便。
  【复杂的多项式,配方法】如果上面这些方式方法都不熟悉,或者二次三项式看起来复杂,不知所措,还可以使用配方法,我们还是看看 x" - 10x - 24 ,x" - 10x - 24首先配方,把二次项和一次项,变成完全平方,= x" - 10x 5" - 25 - 24= ( x - 5 )" - 49分解因式,用平方差公式= ( x - 5 )" - 7"= ( x - 5 - 7 )( x - 5 7 )= ( x - 12 )( x 2 )【分解之后,还要检验】确保分解彻底,因式分解变形正确,例如 x^6 - y^6,应该= ( x"' - y'" )( x"' y"' )= ( x - y )( x y )( x" - xy y" )( x" xy y" )相当于 64 - 1,= ( 8 - 1 )( 8 1 )= ( 2 - 1 )( 4 2 1 )( 2 1 )( 4 - 2 1 )= 1 X 7 X 3 X 3如果先用立方差,做成= ( 4 - 1 )( 4" 4 1 )= ( 2 - 1 )( 2 1 )( 16 4 1 )= 1 X 3 X 21就还有 21 不是质因数,分解不彻底,也就不正确了。
  正如现在的平方差,有两个完全平方式相减,现在要求分解的式子都比较复杂,要想还原就不方便了,各种类型的式子,我们就都要熟悉两三种解答方式,看看不同的方式方法是不是同一个结果,这样才能够相互检验,确保解答正确。
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