全国卷I理科最后一题。
以此题为例给出此类题目的一般解法
(1)
a(n+1)=(√2-1)a(n)+2(√2-1)
符合a(n+1)=pa(n)+q的一般形式
两边同时加上q/(p-1)=2(√2-1)/(√2-2)=-√2
a(n+1)+q/(p-1)=p[a(n)+q/(p-1)]
a(n+1)-√2=(√2-1)[a(n)-√2)
{a(n)-√2}是首项为a1-√2=2-√2,公比为(√2-1)的等比数列
a(n)-√2=(2-√2)*(√2-1)^(n-1)=√2(√2-1)^n
a(n)=√2(√2-1)^n+√2
(2)
b(n+1)=[3b(n)+4]/[2b(n)+3]
符合b(n+1)=[a...全部
以此题为例给出此类题目的一般解法
(1)
a(n+1)=(√2-1)a(n)+2(√2-1)
符合a(n+1)=pa(n)+q的一般形式
两边同时加上q/(p-1)=2(√2-1)/(√2-2)=-√2
a(n+1)+q/(p-1)=p[a(n)+q/(p-1)]
a(n+1)-√2=(√2-1)[a(n)-√2)
{a(n)-√2}是首项为a1-√2=2-√2,公比为(√2-1)的等比数列
a(n)-√2=(2-√2)*(√2-1)^(n-1)=√2(√2-1)^n
a(n)=√2(√2-1)^n+√2
(2)
b(n+1)=[3b(n)+4]/[2b(n)+3]
符合b(n+1)=[a*b(n)+b]/[cb(n)+d]的一般形式,用不动点法
令x=(ax+b)/(cx+d)
cx^2+(d-a)x-b=0
2x^2-4=0
此方程的两根为x1=√2,x2=-√2,有:(若两等根,则下式分子均为1)
[b(n+1)-x1]/[b(n+1)-x2]=q*[b(n)-x1]/[b(n)-x2]
{[b(n)-x1]/[b(n)-x2}}是等比数列
代入x1,x2,用待定系数法可求得公比q
这里直接使用公式:
q=(a-cx1)/(a-cx2)=(3-2√2)/(3+2√2)
首项(b1-x1)/(b1-x2)=(2-√2)/(2+√2)=(√2-1)/(1+√2)=3-2√2
[b(n)-√2]/[b(n)+√2]=(3+2√2)[(3-2√2)/(3+2√2)]^n
设m=(3+2√2)[(3-2√2)/(3+2√2)]^n
显然m>0
[b(n)-√2]/[b(n)+√2]=m
b(n)=√2(1+m)/(1-m)
m>0
1+m>1-m,(1+m)/(1-m)>1
b(n)>√2
a(4n-3)=√2(√2-1)^(4n-3)+√2=。
。。。
这些个式子打起字来太累了。。放弃了。。。谁出的题啊。。。学生太可怜了
。收起
