数学竞赛见图中第一题
设a1=x，由于只需考虑ai=a(i+1)+a(i+2)的情形，所以a0=a1+a2,a2=1-x
若n=2，只需考虑S=1+x+1-x=2，最大值为2，三项依次为1,x,1-x(0≤x≤1)
若n=3，a1=a2+a3，即x=1-x+a3，a3=2x-1，S=1+x+1-x+2x-1=1+2x，再由ai非负得0≤x≤1，
所以，S最大值为3，其中x=1，数列各项依次为1,1,0,1
问题关键在于考虑n=4的情形！
由上面可知，a2=a3+a4,即1-x=2x-1+a4,a4=2-3x,S=1+x+1-x+2x-1+2-3x=3-x，其中1/2≤x≤2/3
S最大值为5/2，各项依次为1,...全部
设a1=x，由于只需考虑ai=a(i+1)+a(i+2)的情形，所以a0=a1+a2,a2=1-x
若n=2，只需考虑S=1+x+1-x=2，最大值为2，三项依次为1,x,1-x(0≤x≤1)
若n=3，a1=a2+a3，即x=1-x+a3，a3=2x-1，S=1+x+1-x+2x-1=1+2x，再由ai非负得0≤x≤1，
所以，S最大值为3，其中x=1，数列各项依次为1,1,0,1
问题关键在于考虑n=4的情形！
由上面可知，a2=a3+a4,即1-x=2x-1+a4,a4=2-3x,S=1+x+1-x+2x-1+2-3x=3-x，其中1/2≤x≤2/3
S最大值为5/2，各项依次为1,1/2,1/2,0,1/2
现在可以把各项列举一下1,x,1-x,2x-1,2-3x,5x-3,5-8x,13x-8,13-21x,34x-21,…
n≥2时的和S列举一下2,1+2x,3-x,4x,5-4x,9x-3,10-12x,22-11,…
到此，我们可以得到这样的结论，对于n，ai=(-1)^(i-1)F(i)x+(-1)^iF(i-1)
其中F(i)为斐波那契数列的第i项，且有x介于F(n-2)/F(n-1)和F(n-1)/F(n)之间
当n为偶数时，x=F(n-1)/F(n)时，S取最大值F(n+1)/F(n-1);
当n为奇数时，x=F(n-2)/F(n-1)时，S取最大值F(n+1)/F(n-1)。
（更有趣的是，S取最大值时的a(n-1)=0）。
由于篇幅所限，详细证明就不在给出，主要是道理很简单，不论是ai还是S都是x的线性代数式。收起
