(0<p≤1/2 请问这道级数是收敛、发散?
这级数是发散。交错级数不能用等价无穷小的方法,
只有正项级数能用等价无穷小的方法。
∑{1≤n}ln〔1+ (-1)^(n-1)/n^p〕,(0<p≤1/2 )
1。设un=ln〔1+ (-1)^(n-1)/n^p〕,
Lim{n→∞}un=0。 所以
∑{1≤n}un的敛散性和∑{1≤n}[-u(2n)-u(2n+1)]相同。
2。设
vn=-u(2n)-u(2n+1)=-[ln〔1+ 1/(2n)^p〕+ln〔1-1/(2n+1)^p]=
=-ln{1-[1-(2n+1)^p+(2n)^p]/[(2n)^p(2n+1)^p]}=
=-ln{1-1/[(2n)^p(2n+1)^p]+O...全部
这级数是发散。交错级数不能用等价无穷小的方法,
只有正项级数能用等价无穷小的方法。
∑{1≤n}ln〔1+ (-1)^(n-1)/n^p〕,(0<p≤1/2 )
1。设un=ln〔1+ (-1)^(n-1)/n^p〕,
Lim{n→∞}un=0。
所以
∑{1≤n}un的敛散性和∑{1≤n}[-u(2n)-u(2n+1)]相同。
2。设
vn=-u(2n)-u(2n+1)=-[ln〔1+ 1/(2n)^p〕+ln〔1-1/(2n+1)^p]=
=-ln{1-[1-(2n+1)^p+(2n)^p]/[(2n)^p(2n+1)^p]}=
=-ln{1-1/[(2n)^p(2n+1)^p]+O[1/n^(1+p)}=
=1/[(2n)^p(2n+1)^p]+O[1/n^(1+p)}。
由于∑{1≤n}1/[(2n)^p(2n+1)^p]收敛,
∑{1≤n}1/n^(1+p)发散。所以
∑{1≤n}vn=∑{1≤n}1/[(2n)^p(2n+1)^p]+∑{1≤n}O[1/n^(1+p)]发散。
∑{1≤n}un发散。
。收起