A为n阶方阵AX=a对任意向量a均有解
A为n阶方阵,Ax=a对任意向量a均有解,证明:对任意向量b,(A^*)x=b均有唯一解。
证明:分别取a=(1,0,…,0)^T,(0,1,…,0)^T,…,(0,0,…,1)^T,
因为Ax=a对任意向量a均有解,所以,对于上述n个n维单位向量,方程Ax=a有相应的解x1,x2,…,xn。
于是,有 A(x1,x2,…,xn)=E,
记 X=(x1,x2,…,xn), 则有 AX=E,
于是知方阵A可逆,从而|A|≠0,再由A(A^*)=(A^*)A=|A|E知
A^*是可逆的。
因此,对任意向量b,方程(A^*)x=b均有唯一解x=(A^*)-¹b。
。全部
A为n阶方阵,Ax=a对任意向量a均有解,证明:对任意向量b,(A^*)x=b均有唯一解。
证明:分别取a=(1,0,…,0)^T,(0,1,…,0)^T,…,(0,0,…,1)^T,
因为Ax=a对任意向量a均有解,所以,对于上述n个n维单位向量,方程Ax=a有相应的解x1,x2,…,xn。
于是,有 A(x1,x2,…,xn)=E,
记 X=(x1,x2,…,xn), 则有 AX=E,
于是知方阵A可逆,从而|A|≠0,再由A(A^*)=(A^*)A=|A|E知
A^*是可逆的。
因此,对任意向量b,方程(A^*)x=b均有唯一解x=(A^*)-¹b。
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