导数与微分怎么区分?它们有什么联系?

协变导数与外微分有何联系?

这两者是不同的，粗略来看很多人会认为这两者是一样的，但是其数学含义是不同的，而且严格说两者不是相等的关系。从数学符号的意义上来说，dy与δy是不同的，dx与δx也是不同的。一般地，δ~代表做“差（分）”运算之后的结果，是一个具体精确的表达。 而d~代表做“微分”运算后的结果，里面包含有取某种极限之后的结果，是更抽象的表达。差分仅仅是直观的减法运算，而微分则包含有更为深刻的极限思想在里面。甚至也可以把微分认为是差分的极限。我们定义函数y=f(x)δy=aδx o（δx）来自于差分表达式：δy=y1-y0=f(x1)-f(x0)，其中x1-x0=δx。 右边f(x1)-f(x0)相当于做了...全部

  这两者是不同的，粗略来看很多人会认为这两者是一样的，但是其数学含义是不同的，而且严格说两者不是相等的关系。从数学符号的意义上来说，dy与δy是不同的，dx与δx也是不同的。一般地，δ~代表做“差（分）”运算之后的结果，是一个具体精确的表达。
  而d~代表做“微分”运算后的结果，里面包含有取某种极限之后的结果，是更抽象的表达。差分仅仅是直观的减法运算，而微分则包含有更为深刻的极限思想在里面。甚至也可以把微分认为是差分的极限。我们定义函数y=f(x)δy=aδx o（δx）来自于差分表达式：δy=y1-y0=f(x1)-f(x0)，其中x1-x0=δx。
  右边f(x1)-f(x0)相当于做了一个一阶展开（如果你学过taylor展开，可以联系起来考虑），得到线性部分aδx和残差项o（δx），o（δx）指的是δx的高阶无穷小：如果δx是一个具体的数，那么o（δx）就是一个具体的数；如果δx趋向于零，那么o（δx）比δx“更快地”趋向于零。
  a是一个与x0有关而与δx无关的量。dy=f（x）dx就是把之前式子里δx的高阶无穷小o（δx）拿掉不考虑，但是这里舍弃的o（δx）并不是等于零的，而且一个关于δx的函数，比如当取δx收敛到零的极限时就有limo（δx）=0。
  所以你可以把dy=f（x）dx看作是δy=aδx o（δx）取某种极限后的结果。形式上我们可以定义dy=f（x）dx为一个微分表达式，是一个相对抽象的结果。但其实质是由具体的差分形式δy=y1-y0=f(x1)-f(x0)演化而来的。
  或者说dy是δy在某种极限意义下的近似。这里相等的只有一阶展开系数a与导数f(x)，注意把上面固定的x0看做x即可。收起