高中数学（三角函数）
求函数y=(3sinx-3)/(2cosx+10)的最大值和最小值
全部回答
令: t = tg(x/2), 则: sinx = 2t/(1+t^2), cosx = (1-t^2)/(1+t^2)
y = (3sinx-3)/(2cosx+10) = {3*[2t/(1+t^2)]-3}/{2*[(1-t^2)/(1+t^2)]+10}
= (-3/8)[1 - (4t+1)/(2t^2+3)]
令: A = (4t+1)/(t^2+3)
则: 2At^2 - 4t + (3A-1) = 0
4^2 - 4*(2A)*(3y-1) >= 0
-2/3 <= A <= 1
因此: -5/8 <= y <= 0
最大值 = 0, 最小值 = -5/8。
。
。
直接求不好求。利用转化思想，根据三角函数的有界性求函数值域。
解：y=(3sinx-3)/(2cosx+10) y(2cosx+10)=3sinx-3 3sinx-2ycosx=10y+3 设辅助角√[3^2+(2y)^2]sin(x+φ)=10y+3 (其中tgφ=-2y/3,φ∈Ⅳ) sin(x+φ)=(10y+3)/√(9+4y^2) ∵x∈R，∴x+φ∈R ∴sin(x+φ)∈[-1,1] ∴(10y+3)/√(9+4y^2)∈[-1,1] ∴|(10y+3)/√(9+4y^2)|∈[-1,1] ∴[(10y+3)/√(9+4y^2)]^2≤1 ∴(10y+3)^2/(9+4y^2)≤1 解得100y^2+60y+9≤4y^2+9 96y^2+60y≤0 12y(8y+5)≤0 ∴-5/8≤y≤0 。
解：y=(3sinx-3)/(2cosx+10) y(2cosx+10)=3sinx-3 3sinx-2ycosx=10y+3 设辅助角√[3^2+(2y)^2]sin(x+φ)=10y+3 (其中tgφ=-2y/3,φ∈Ⅳ) sin(x+φ)=(10y+3)/√(9+4y^2) ∵x∈R，∴x+φ∈R ∴sin(x+φ)∈[-1,1] ∴(10y+3)/√(9+4y^2)∈[-1,1] ∴|(10y+3)/√(9+4y^2)|∈[-1,1] ∴[(10y+3)/√(9+4y^2)]^2≤1 ∴(10y+3)^2/(9+4y^2)≤1 解得100y^2+60y+9≤4y^2+9 96y^2+60y≤0 12y(8y+5)≤0 ∴-5/8≤y≤0 。
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