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海伦公式
海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]
而公式里的s：
s=(a+b+c)/2
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。 比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明：
与海伦在他的着作"M...全部
海伦公式
海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]
而公式里的s：
s=(a+b+c)/2
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明：
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设s=(a+b+c)/2
则s=(a+b+c), s-a=(-a+b+c)/2, s-b=(a-b+c)/2, s-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]
所以，三角型ABC面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]
证明完毕
海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s：
s=frac{a+b+c}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为
cos(C) = frac{a^2+b^2-c^2}
从而有
sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }
因此三角形的面积S为
S = fracab sin(C)
= fracsqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出。
具体的公式
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