几何问题(1) 求证圆内接四边形被一条对角线所分两个三角形的内切圆半径之和,等于它被另一条对角线所分两个三角形的内切圆半径之和.
圆内接四边形ABCD,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内切圆半径分别为r1,r2,r3,r4
求证:r1+r3=r2+r4
证明:
设△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内心分别为I1,I2,I3,I4
∵∠AI3D=90+∠ACD/2,∠AI4D=90+∠ABD/2
∴∠AI3D=∠AI4D
∴A。 I4。I3。D四点共圆(同理可知B。I1。I2。C四点共圆)
∴∠AI4I3=180-∠ADI3=180-∠ADC/2
同理:∠AI4I1=180-∠ABC/2
∴∠AI4I3+∠AI4I1=360-(∠ADC+∠ABC)/2=270
∴∠I3I4I1=90
同理:∠I4I1I...全部
圆内接四边形ABCD,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内切圆半径分别为r1,r2,r3,r4
求证:r1+r3=r2+r4
证明:
设△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内心分别为I1,I2,I3,I4
∵∠AI3D=90+∠ACD/2,∠AI4D=90+∠ABD/2
∴∠AI3D=∠AI4D
∴A。
I4。I3。D四点共圆(同理可知B。I1。I2。C四点共圆)
∴∠AI4I3=180-∠ADI3=180-∠ADC/2
同理:∠AI4I1=180-∠ABC/2
∴∠AI4I3+∠AI4I1=360-(∠ADC+∠ABC)/2=270
∴∠I3I4I1=90
同理:∠I4I1I2=∠I1I2I3=∠I2I3I4=90
∴I1I2I3I4为矩形
∴I1I3=I2I4
设I1I3与AC交点为M,I2I4与BD交点为N,∠AMI1=α,∠BNI4=β
∵A。
I4。I3。D四点共圆,B。I1。I2。
C四点共圆
∴∠AI3I4=ADI4=∠ADB/2=∠ACB/2=∠BI2I1
α=∠AI3M+∠MAI3=∠AI3I4+∠I4I3I1+∠DAC/2
β=∠BI2N+∠NBI2=∠BI2I1+∠I1I2I4+∠DBC/2
∴α=β
过I1,I3作AC垂线,P,Q为垂足,则r1=I1P,r3=I3Q
r1+r3=I1I3*sinα
同理:r2+r4=I2I4*sinβ
∴r1+r3=r2+r4
。收起
