高中数学所有解题方法

    讲一下解析几何 解析几何常规题型及方法 ： 全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分”的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有时20题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。
     鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．由于高考中解几内容弹性很大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几分算几分。
     高考核心考点 1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等） 2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等） 3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等） 4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等） 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题 四、常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 ， ，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
     典型例题 给定双曲线 。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及 ，求线段 的中点P的轨迹方程。 分析：设 ， 代入方程得 ， 。 两式相减得 。
   又设中点P（x,y），将 ， 代入，当 时得 。   又 ， 代入得 。 当弦 斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。
   因此所求轨迹方程是 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点 、 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
     典型例题 设P(x,y)为椭圆 上任一点， ， 为焦点， ， 。 （1）求证离心率 ； （2）求 的最值。 分析：（1）设 ， ，由正弦定理得 。
   得 ， （2） 。 当 时，最小值是 ； 当 时，最大值是 。   （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法 典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
     （1）证明：抛物线的准线为 由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得 故直线与抛物线总有两个交点。
   （2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2) （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。   若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
   若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 典型例题 已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p （1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
     分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。
     解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则 ,又y1=x1-a,y2=x2-a, 解得: (2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得： , 所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2。
    又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|= ，所以S△NAB= ,即△NAB面积的最大值为 2。 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
   典型例题 已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。  若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。
   设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0) 设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为： A/（ ），B（ ）。  因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0。
  解得：k= ,p= 。 所以直线L的方程为：y= x,抛物线C的方程为y2= x。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数 （ >0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
     分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|= |MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：( 2-1)(x2+y2)-4 2x+(1+4 2)=0。
   当 =1时它表示一条直线；当 ≠1时，它表示圆。  这种方法叫做直接法。 （6） 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。
  （当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决） 典型例题 已知椭圆C的方程 ，试确定m的取值范围，使得对于直线 ，椭圆C上有不同两点关于直线对称。   分析：椭圆上两点 ， ，代入方程，相减得 。
   又 ， ， ，代入得 。 又由 解得交点 。 交点在椭圆内，则有 ，得 。 （7）两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用 来处理或用向量的坐标运算来处理。
     典型例题 已知直线 的斜率为 ，且过点 ，抛物线 ，直线 与抛物线C有两个不同的交点（如图）。 （1）求 的取值范围； （2）直线 的倾斜角 为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。
   分析：（1）直线 代入抛物线方程得 ， 由 ，得 。   （2）由上面方程得 ， ，焦点为 。 由 ，得 ， 或 B:解题的技巧方面 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。
  事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。  下面举例说明： （1）充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
   典型例题 设直线 与圆 相交于P、Q两点，O为坐标原点，若 ，求 的值。   解： 圆 过原点，并且 ， 是圆的直径，圆心的坐标为 又 在直线 上， 即为所求。
   评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且 ，PQ是圆的直径，圆心在直线 上，而是设 再由 和韦达定理求 ，将会增大运算量。   评注：此题若不能挖掘利用几何条件 ，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。
   二。 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。   典型例题 已知中心在原点O，焦点在 轴上的椭圆与直线 相交于P、Q两点，且 ， ，求此椭圆方程。
   解：设椭圆方程为 ，直线 与椭圆相交于P 、 两点。 由方程组 消去 后得 由 ，得 （1） 又P、Q在直线 上， 把（1）代入，得 ， 即 化简后，得 （4） 由 ，得 把（2）代入，得 ，解得 或 代入（4）后，解得 或 由 ，得 。
     所求椭圆方程为 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。 三。 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
   典型例题 求经过两已知圆 和 0的交点，且圆心在直线 ： 上的圆的方程。   解：设所求圆的方程为： 即 ， 其圆心为C（ ） 又C在直线 上， ，解得 ，代入所设圆的方程得 为所求。
   评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。 四、充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。
     典型例题 P为椭圆 上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。 五、线段长的几种简便计算方法 ① 充分利用现成结果，减少运算过程 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程 代入圆锥曲线方程中，得到型如 的方程，方程的两根设为 ， ，判别式为△，则 ，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。
     例 求直线 被椭圆 所截得的线段AB的长。 ② 结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。
   例 、 是椭圆 的两个焦点，AB是经过 的弦，若 ，求值 ③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点A（3，2）为定点，点F是抛物线 的焦点，点P在抛物线 上移动，若 取得最小值，求点P的坐标。
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