正整数不定方程求方程组正整数解：
记x^y+y^x=z^y为(1)式, x^y+2012=y^(z+1)为(2)式
解：
讨论x为奇、偶时两种情况。
(1)x为奇数, y显然是奇数, z是偶数。
若a,b都是正奇数, 则a^b≡(±1)^b≡±1≡a (mod4)
由此结论分析二式。
(2)式中y＞1, 4|z^y
==> x+y≡x^y+y^x≡z^y≡0 (mod4)
==> x≡-y (mod4)
又
x≡x+0≡x^y+2012≡y^(z+1)≡y (mod4)
==> y≡-y (mod4)
显然与y为奇数矛盾。
(2)假设x=2k为偶数, 则y,z均为偶数。
若y＞2 ==> 8|x^y
但只有4|20...全部
记x^y+y^x=z^y为(1)式, x^y+2012=y^(z+1)为(2)式
解：
讨论x为奇、偶时两种情况。
(1)x为奇数, y显然是奇数, z是偶数。
若a,b都是正奇数, 则a^b≡(±1)^b≡±1≡a (mod4)
由此结论分析二式。
(2)式中y＞1, 4|z^y
==> x+y≡x^y+y^x≡z^y≡0 (mod4)
==> x≡-y (mod4)
又
x≡x+0≡x^y+2012≡y^(z+1)≡y (mod4)
==> y≡-y (mod4)
显然与y为奇数矛盾。
(2)假设x=2k为偶数, 则y,z均为偶数。
若y＞2 ==> 8|x^y
但只有4|2012
∴8不整除y^(z+1)
==> z+1≤2 ==> z=1显然不满足(1)式条件
∴y≤2, 又y＞1
∴y=2
(1)式化为：
x²+2^x=z² ==> 2^x=(z-x)(z+x)
显然x,z均为偶数
令u＜v满足z-x=2^u, z+x=2^v, u+v=x
∵v＞u, v≥x/2, u≤v-1
==> x=2^(v-1)-2^(u-1)≥2^(v-1)-2^(v-2)=2^(v-2)≥2^(x/2-2)
==> k≥2^(k-3)
显然k≥6时此不等式不成立。
所以只需要检验k=1,2,3,4,5, 即 x=2,4,6,8,10
只有x=6时, z为整数：z=√(x²+2^x)=10
所以此不定方程组只有一组解(6,2,10)。
。
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