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以下e^-x表示e的-x次方。
解:令f(x)=(x+x^5)(e^x+e^-x),对任意x∈R,
f(-x)=(-x-x^5)(e^-x+e^x)=-f(x)。
因此f(x)是奇函数,由于积分区间[-1,1]关于原点对称,因此 ∫[-1,1](x+x^5)(e^x+e^-x)dx=0。 令g(x)=e^x-e^-x,则 原式=∫[-1,1](e^x+e^-x)dx+∫[-1,1](x+x^5)(e^x+e^-x)dx =∫[-1,1](e^x+e^-x)dx =g(1)-g(-1) =(e-1/e)-(1/e-e) =2e-2/e ≈2。
71828×2-0。36788×2 =4。7008 本题当然可以直接进行分部积分,但极为麻烦,需要进行5步分部积分。利用奇函数在对称区间上的积分性质可大大减少计算量。
因此f(x)是奇函数,由于积分区间[-1,1]关于原点对称,因此 ∫[-1,1](x+x^5)(e^x+e^-x)dx=0。 令g(x)=e^x-e^-x,则 原式=∫[-1,1](e^x+e^-x)dx+∫[-1,1](x+x^5)(e^x+e^-x)dx =∫[-1,1](e^x+e^-x)dx =g(1)-g(-1) =(e-1/e)-(1/e-e) =2e-2/e ≈2。
71828×2-0。36788×2 =4。7008 本题当然可以直接进行分部积分,但极为麻烦,需要进行5步分部积分。利用奇函数在对称区间上的积分性质可大大减少计算量。
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