已知抛物线Ey^2=x与圆M
已知抛物线E：y^2=x与圆M：(x-4)^2+y^2=r^2(r＞0)相交于A、B、C、D四个点.①求r的取值范围；②求四边形ABCD面积的最大值。
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(1)如下图所示,当两曲线有两个切点时,方程组y^2=x与(x-4)^2
+y^2=r^2有两组解,即x^2-7x1+16-r^2=0有等根,△=4r^2-15=0,
r=√15/2,
当两曲线只有一个切点时,方程组y^2=x与(x-4)^2+y^2=r^2有三组解,此时r=4。
∴ 当√15/2s>0),其面积=(s+t)(t²-s²)=(s+t)²(t-s),∵ s+t=7,st=(16-r²), ∴ (t-s)²=(t+s)²-4st=4r²-15, ∴ 面积S=49(4r²-15)。
又√15/2<r<4时, ∴ S既无最大值,又无最小值。 。
∴ 当√15/2s>0),其面积=(s+t)(t²-s²)=(s+t)²(t-s),∵ s+t=7,st=(16-r²), ∴ (t-s)²=(t+s)²-4st=4r²-15, ∴ 面积S=49(4r²-15)。
又√15/2<r<4时, ∴ S既无最大值,又无最小值。 。
1、
y^2=x
(x-4)^2+y^2=r^2
联立解得：(x-4)^2+x=r^2
x^2-7x+16-r^2=0
因为交点有四个，故判别式△=49-4(16-r^2)>0
4r^2>15
r>√(15)/2(负值无意义，舍去)
又M圆心(4,0)，抛物线x≥0，则r≥4时，圆与抛物线交点少于4个，故r<4
综合√(15)/2<r<4
2、
由x^2-7x+16-r^2=0得：
x1+x2=7,x1x2=16-r^2
则y1=√x1,y2=-√x1,y3=√x2,y4=-√x2
因圆心(4,0),抛物线也以x轴为对称轴，故四边形ABCD为等腰梯形
则底边AB=|y1-y2|=2√x1
底边CD=|y3-y4|=2√x2
高为：h=|x1-x2|
四边形ABCD面积为S=(AB+CD)*h/2=(√x1+√x2)|x1-x2|
因(√x1+√x2)^2=x1+x2+2√(x1x2)=7+2√(16-r^2)
故√x1+√x2=√(7+2√(16-r^2))
因(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=49-4(16-r^2)=4r^2-15
故|x1-x2|=√(4r^2-15)
故S=√(7+2√(16-r^2))√(4r^2-15)
设t=√(16-r^2)，则S=√(7+2t)√(49-4t^2)=(7+2t)√(7-2t)
S'=2√(7-2t)-(7+2t)/√(7-2t)
S'=0时：2√(7-2t)-(7+2t)/√(7-2t)=0
14-4t-7-2t=0
t=7/6
即√(16-r^2)=7/6
16-r^2=49/36
r=√(527)/6
√(15)/2<√(527)/6<4，在y的定义域范围内
又S''=-2/√(7-2t)-(2√(7-2t)+(7+2t)/√(7-2t))/(7-2t)
S''(t=7/6)=-2-(2*(14/3)+(28/3))/(14/3)^(3/2)<0
故Smax=S(r=√(527)/6)=S(t=7/6)=(7+7/3)√(7-7/3)=(2/3)√(42)
。
。
。
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