1道证明题

请教一道初三数学证明题~~如图①

如图①，在三角形ABC中，，点D为AB边中点，以点D为顶点做∠PDQ=90°，DP、DQ分别交直线AC、BC于E、F，分别过E、F作AB的垂线，垂足分别为M、N。 （1）求证：MN=1/2AB； 连接CD 因为△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，即△ABC为等腰直角三角形 所以，∠A=45° 又，D为AB中点 所以，CD⊥AB，且CD=AD 已知EM⊥AB 则，△AME也是等腰直角三角形 所以，AM=EM 由CD⊥AB得到：∠ADE+∠EDC=90° 由ED⊥DF得到：∠CDF+∠EDC=90° 所以，∠ADE=∠CDF 所以：在△ADE和△CDF中 ∠A=∠DCF=45° ∠ADE...全部

  如图①，在三角形ABC中，，点D为AB边中点，以点D为顶点做∠PDQ=90°，DP、DQ分别交直线AC、BC于E、F，分别过E、F作AB的垂线，垂足分别为M、N。 （1）求证：MN=1/2AB； 连接CD 因为△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，即△ABC为等腰直角三角形 所以，∠A=45° 又，D为AB中点 所以，CD⊥AB，且CD=AD 已知EM⊥AB 则，△AME也是等腰直角三角形 所以，AM=EM 由CD⊥AB得到：∠ADE+∠EDC=90° 由ED⊥DF得到：∠CDF+∠EDC=90° 所以，∠ADE=∠CDF 所以：在△ADE和△CDF中 ∠A=∠DCF=45° ∠ADE=∠CDF AD=CD 所以，△ADE≌△CDF（AAS） 所以，DE=DF 又因为，ED⊥DF 所以：∠MDE+∠NDF=90° 而，∠MDE+∠MED=90° 所以：∠NDF=∠MED 同理，在△MDE和△NFD中 ∠DME=∠FDN=90° ∠MED=∠NDF DE=DF 所以，△MDE≌△NFD（AAS） 所以：ME=DN 所以，AM=ME=DN 而，MN=ND+MD 则，MN=AM+MD=AD=AB/2 （2）把∠PDQ绕点D旋转，得到图②时，（1）中的结论是否成立，若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (1)中的结论仍然成立 同理，连接CD 因为△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，即△ABC为等腰直角三角形 所以，∠A=45° 又，D为AB中点 所以，CD⊥AB，且CD=AD，∠FCD=45° 又：∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+∠CDE ∠CDF=∠EDF+∠CDE=90°+∠CDE 所以，∠ADE=∠CDF 所以：在△ADE和△CDF中 ∠A=∠DCF=45° AD=CD ∠ADE=∠CDF 所以，△ADE≌△CDF（ASA） 所以，DE=DF 由EM⊥AB得到：∠DEM+∠EDM=90° 由ED⊥DF得到：∠FDN+∠EDM=90° 所以：∠DEM=∠FDN 所以，在△DME和△FND中 ∠DME=∠FND=90° ∠MED=∠NDF DE=DF 所以，△DME≌△FND（AAS） 所以：DM=FN 而，FN=BN 所以，DM=FN=BN 所以，MN=MB+BN=MB+DM=BD=AB/2 （3）在∠PDQ绕点D旋转的过程中，设DP交射线BC于点G，连接BE，若FG=10，AE=3CE=6，求DG的长。
   如图 由(1)的结论知： DE=DF △ADE≌△CDF 所以：CF=AE=6 则，CE=BF=6/3=2 而，已知GF=10 所以，GC=GF-CF=10-6=4 设DE=DF=x，GE=y 因为，ED⊥DF 所以，∠EDF=90° 而，∠ACB=90° 所以，∠ECF+∠EDF=90°+90°=180° 所以，C、E、D、F四点共圆 那么，GD、GF为自圆外同一点G引的两条割线 所以，GC*GF=GE*GD 即，4*(4+6)=y*(x+y) 即，y*(x+y)=40………………………………………………（1） 又，在Rt△GDF中，由勾股定理得到：GD^2+DF^2=GF^2 即，(x+y)^2+x^2=100…………………………………………（2） 联立(1)(2)得到： x=2√5 y=2√5 所以：DG=x+y=4√5 或者，如果知道余弦定理，那么就更简单 因为AE=3EC=6 所以，AE=6、EC=2 则，AC=6+2=8 那么，由勾股定理得到：AB=8√2 所以，BD=AB/2=4√2 而，BG=BF+GF=CE+GF=2+10=12 所以，在△BDG中由余弦定理得到：DG^2=BD^2+BG^2-2*BD*BG*cos45° =(4√2)^2+12^2-2*4√2*12*(√2/2) =80 所以，DG=√80=4√5 。
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