高中数学双曲线选择题（二），求解
1。若双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0)的离心率是2，则(b^2+1)/3a的最小值为( )
A。2√3/3 B。√3/3 C。2 D。1
2。已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0)的离心率是√6/2,则双曲线的渐近线方程为( )
A。
y=±2x B。y=±√2x
C。y=±(√2/2)x D。y=±x/2
3。双曲线x^2/3-y^2/b=1的一条渐近线与圆 (x-2)^2+y^2=2相交于M、N两点且|MN|=2,则此双曲线的焦距是( )
A。2√2 B。
2√3 C。2 D。4
请写出具体的过程，谢谢。
全部回答
1、选A。
解：e=c/a=2
得：c=2a
c²=a²+b²=4a²
得：b²=3a²
所以：(b²+1)/（3a） =(3a²+1)/（3a）=a+1/（3a）。
利用均值不等式可得 a+1/（3a）≥2×√[a×1/3a]=(2√3)/3 等号成立当且仅当a=1/3a 因此取得最小值为(2√3)/3。 所以：选A。 2。
选C 解：e=c/a=√6/2 c²/a²=3/2 3a²=2c² 3a²=2(a²+b²) b²/a²=1/2 a>0,b>0 b/a=√2/2 渐近线方程y=±(√2/2)x 所以：选C。
3。选D。 解：双曲线的渐近线为：√bx±√3y=0, 圆可化为：（x-2)²+y²=2可知圆心为（2,0），半径为√2 由勾股定理，得：圆心到这条渐近线的距离为1 由点到直线的距离公式，得： ｜√b·2｜／√（b+3)=1, 解得：b=1 所以，c²=3+1=4。
得：c=2 焦距2c=4。 所以：选D。 。
利用均值不等式可得 a+1/（3a）≥2×√[a×1/3a]=(2√3)/3 等号成立当且仅当a=1/3a 因此取得最小值为(2√3)/3。 所以：选A。 2。
选C 解：e=c/a=√6/2 c²/a²=3/2 3a²=2c² 3a²=2(a²+b²) b²/a²=1/2 a>0,b>0 b/a=√2/2 渐近线方程y=±(√2/2)x 所以：选C。
3。选D。 解：双曲线的渐近线为：√bx±√3y=0, 圆可化为：（x-2)²+y²=2可知圆心为（2,0），半径为√2 由勾股定理，得：圆心到这条渐近线的距离为1 由点到直线的距离公式，得： ｜√b·2｜／√（b+3)=1, 解得：b=1 所以，c²=3+1=4。
得：c=2 焦距2c=4。 所以：选D。 。
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