提问一道数学椭圆题在平面直角坐标
在平面直角坐标系内，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左，右，下，上四个顶点。F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的焦点M恰为线段OT的中点。求该椭圆的离心率。
有什么简便算法吗？
如图
设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）
椭圆右焦点F(c,0)
则：A1(-a,0)、B1(0,-b)、A2(a,0)、B2(0,b)
所以，直线A1B2的方程为：(y-b)/(b-0)=(x-0)/(0+a)
即，y=(b/a)x+b
直线B1F的方程为：(y-0)/(0+b)=(x-c)/(c-0)
即：y=(b/c)x-b
那么，A1B2与B1...全部
在平面直角坐标系内，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左，右，下，上四个顶点。F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的焦点M恰为线段OT的中点。求该椭圆的离心率。
有什么简便算法吗？
如图
设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）
椭圆右焦点F(c,0)
则：A1(-a,0)、B1(0,-b)、A2(a,0)、B2(0,b)
所以，直线A1B2的方程为：(y-b)/(b-0)=(x-0)/(0+a)
即，y=(b/a)x+b
直线B1F的方程为：(y-0)/(0+b)=(x-c)/(c-0)
即：y=(b/c)x-b
那么，A1B2与B1F的交点T的坐标为：(b/a)x+b=(b/c)x-b
===> (b/c)x-(b/a)x=2b
===> (a-c)bx/(ac)=2b
===> x=2ac/(a-c)
则，y=(b/c)x-b=(b/c)*[2ac/(a-c)]-b=2ab/(a-c)-b
=(2ab-ab+bc)/(a-c)=(a+c)b/(a-c)
即，点T(2ac/(a-c),(a+c)b/(a-c))
那么，线段OT的中点M(ac/(a-c),(a+c)b/2(a-c))
已知点M在椭圆上，则：
[ac/(a-c)]^2/a^2+[(a+c)b/2(a-c)]^2/b^2=1
===> c^2/(a-c)^2+(a+c)^2/4(a-c)^2=1
===> 4c^2/4(a-c)^2+(a+c)^2/4(a-c)^2=1
===> 4c^2+(a+c)^2=4(a-c)^2
===> 4c^2+a^2+2ac+c^2=4a^2-8ac+4c^2
===> 3a^2-10ac-c^2=0
===> a=[10c±√(100c^2+12c^2)]/6=[10c±√(112c^2)]/6
因为在椭圆中，a^2=b^2+c^2，即a＞c
所以，a=(10c+4√7c)/6=(5+2√7)c/3
所以，椭圆的离心率e=c/a=c/[(5+2√7)c/3]
=3/(5+2√7)=3*(5-2√7)/[(5+2√7)*(5-2√7)]=3*(5-2√7)/(-3)
=2√7-5。收起
