已知a+b+c=0？
证明：不失一般性, 可设2≥a≥b≥c≥0
由4=a²+b²+c²+abc≥a²+b²+c²+abc-(2-c)(a-b)²/4=c²+(a+b)²/2+c(a+b)²/4
得(c+2)(a+b)²/4≤4-c² ⇒ c+(a+b)²/4≤2
转化为证
c(a+b)+ab[1-c(a+b+c-1)/2]≤2
由算术平均-几何平均不等式, 得
ab≤(a+b)²/4, a+b+c≤(a+b)²/4+1+c≤3
⇒ 1-c(a+b+c-1)/2≥1-c≥0
令t=(a+b)/2, c+t²≤2则
f(c)=2ct+t²-ct²(c+2t-1)/2-2≤0
f'(c)=2t-t²(2c+2t-1...全部
证明：不失一般性, 可设2≥a≥b≥c≥0
由4=a²+b²+c²+abc≥a²+b²+c²+abc-(2-c)(a-b)²/4=c²+(a+b)²/2+c(a+b)²/4
得(c+2)(a+b)²/4≤4-c² ⇒ c+(a+b)²/4≤2
转化为证
c(a+b)+ab[1-c(a+b+c-1)/2]≤2
由算术平均-几何平均不等式, 得
ab≤(a+b)²/4, a+b+c≤(a+b)²/4+1+c≤3
⇒ 1-c(a+b+c-1)/2≥1-c≥0
令t=(a+b)/2, c+t²≤2则
f(c)=2ct+t²-ct²(c+2t-1)/2-2≤0
f'(c)=2t-t²(2c+2t-1)/2=t(4+t-2ct-2t²)/2
由于4+t-2ct-2t²≥4+t-2t(2-t²)-2t²=2(t²-1)(t-1)+2-t＞0
所以有
f(c)≤f(2-t²)=-(t⁶-2t⁵-3t⁴+8t³-8t+4)/2=-(t-1)²(t²-2)²/2≤0
当且仅当a=b=c=1 或 a=b=√2, c=0及其排列时等号成立
也可用s-R-r证明。
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