二元函数微分证明题设F(x,Y)
【方法一】如果附加一个条件F'x(x,y)和F'y(x,y)连续,利用曲线积分来证明:
因为F(x,y)是dF(x,y)的原函数,可以知道曲线积分与路径无关。
取定P=(a,b)∈D,任取M=(x,y)∈D,
F(x,y)-F(a,b)=∫dF(x,y)=0。
所以恒有 F(x,y)-F(a,b)=0。
【方法二】如果没有附加条件,利用线性无关的概念来证明:
F'x(x,y)dx+F'y(x,y)dy≡0,
而dx和dy独立,当然线性无关,
所以必然有 F'x(x,y)≡0, F'y(x,y)≡0,
同样可以得到结论,见
。全部
【方法一】如果附加一个条件F'x(x,y)和F'y(x,y)连续,利用曲线积分来证明:
因为F(x,y)是dF(x,y)的原函数,可以知道曲线积分与路径无关。
取定P=(a,b)∈D,任取M=(x,y)∈D,
F(x,y)-F(a,b)=∫dF(x,y)=0。
所以恒有 F(x,y)-F(a,b)=0。
【方法二】如果没有附加条件,利用线性无关的概念来证明:
F'x(x,y)dx+F'y(x,y)dy≡0,
而dx和dy独立,当然线性无关,
所以必然有 F'x(x,y)≡0, F'y(x,y)≡0,
同样可以得到结论,见
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