数学 高二
已知抛物线y2＝4x的准线与x轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B两点，若AB的垂直平分线与x轴交于E(x0，0)．（1）求x0的取值范围
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已知抛物线y2＝4x的准线与x轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B两点，若AB的垂直平分线与x轴交于E(x0，0)．（1）求x0的取值范围
抛物线y^2=4x的准线为x=-1，那么它与x轴的交点为M(-1,0)
因为抛物线中x≥0，位于y轴的右边，所以当过点M直线与抛物线有交点时，直线的斜率k一定存在
不妨设过点M(-1,0)的直线为y=k(x+1)
联立直线与抛物线方程有：[k(x+1)]^2=4x
===> k^2*(x+1)^2-4x=0
===> k^2*x^2+2(k^2-2)x+k^2=0…………………………（1）
因为直线与抛物线有相异的两个交点A、B，所以：
△=b^2-4ac=[2(k^2-2)]^2-4k^4＞0
===> 4(k^2-2)^2-4k^4＞0
===> (k^2-2)^2-k^4＞0
===> k^4-4k^2+4-k^4＞0
===> k^2＜1
===> -1＜k＜1，k≠0…………………………………………（2）
且，由(1)知，x1+x2=-2(k^2-2)/k^2
-所以，AB中点横坐标为x=(x1+x2)/2=-(k^2-2)/k^2=(2-k^2)/k^2
又，y1=k(x1+1)，y2=k(x2+1)
所以，y1+y2=k(x1+x2)+2k
=k*[-2(k^2-2)/k^2]+2k
=-2(k^2-2)/k+2k
=4/k
所以，AB中点纵坐标为y=(y1+y2)/2=2/k
则AB的垂直平分线为：y-(2/k)=(-1/k)*[x-(2-k^2)/k^2]
它与x轴的交点为当y=0时：
-(2/k)=(-1/k)*[x-(2-k^2)/k^2]
===> x-(2-k^2)/k^2=2
===> x=2+(2-k^2)/k^2=2+(2/k^2)-1
=1+(2/k^2)
由(1)知，-1＜k＜1，k≠0
所以，k^2∈(0,1)
所以，x=1+(2/k^2)≥3
即，xo的范围是：xo∈(3,+∞)。
。
。
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