证明题

以等边三角形的一边为直径作圆，求证:这圆平分其他两边，这两边三等分半圆。

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2011-02-27

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以等边三角形的一边为直径作圆，求证:这圆平分其他两边，这两边三等分半圆。
如图圆O以等边三角形ABC边AC为直径，圆O交边AB、BC于点E、F 则，点E、F分别为AB、BC之中点，且E、F为半圆AEC的三等分点证明：连接AF、CE 因为AC为圆O直径所以，∠AFC=∠AEC=90° 即，AF⊥BC，CE⊥AB 又，△ABC为等边三角形所以，点E、F分别为AB、BC中点连接OE、OF 由前面知，AF⊥BC 而△ABC为等比三角形所以，AF为∠BAC平分线所以，∠CAF=∠BAC/2=60°/2=30° 那么，∠COF=2∠CAF=30°*2=60° 同理，∠AOE=60° 而，平角AOC=180° 则，∠EOF=180°-60°-60°=60° 所以，E、F为半圆AEC的三等分点。

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