趣味沙龙6----瓜皮与瓜瓤一个
【①山路水桥从球极投影角度解析】关于瓜皮数最大值可以用数学方法严格论证,切n刀分割出最多西瓜皮块数为S(n)=n^2-n+2。
三维空间问题有一定直观性,由于不如平面更直观,而球面本质是二维的,利用复变函数球极投影,可以建立立体西瓜皮与平面(过南极的切平面)一一对应关系。
球面上的刀痕圆的球极投影或是平面上的直线(刀口经过北极),或是圆(刀口平行于赤道),或是椭圆(刀口不经过北极,也不平行于赤道。因为两个圆至多有两个交点,画成椭圆后,不小心可能得到更多交点,为避免此尴尬,图中也都画成圆)。
当球面上的每个刀痕圆之间有两个交点,且每个交点处没有第三个圆通过。此时球面被分割...全部
【①山路水桥从球极投影角度解析】关于瓜皮数最大值可以用数学方法严格论证,切n刀分割出最多西瓜皮块数为S(n)=n^2-n+2。
三维空间问题有一定直观性,由于不如平面更直观,而球面本质是二维的,利用复变函数球极投影,可以建立立体西瓜皮与平面(过南极的切平面)一一对应关系。
球面上的刀痕圆的球极投影或是平面上的直线(刀口经过北极),或是圆(刀口平行于赤道),或是椭圆(刀口不经过北极,也不平行于赤道。因为两个圆至多有两个交点,画成椭圆后,不小心可能得到更多交点,为避免此尴尬,图中也都画成圆)。
当球面上的每个刀痕圆之间有两个交点,且每个交点处没有第三个圆通过。此时球面被分割“块数”最多。(如果有两个刀痕圆都经过北极,那么球极投影是两条相交直线,学过复变的都知道,两个交点的一个在有限区域内,另一个是无穷远点)。
【注意附图中最外面部分也对应了一块西瓜皮】
以下我们把球面上的刀痕圆的球极投影也都称为圆。
数学归纳法可以证明切n刀分割出最多西瓜皮块数为S(n)=n^2-n+2
n=1,显然一个圆把全平面分成S(1)=2个部分,即S(n)=n^2-n+2成立。
n=k时,设S(k)=k^2-k+2,即S(n)=n^2-n+2成立。
再切一刀,就是在投影平面上,再画一个圆,和前k个圆有2k个交点,由于没三个圆共点,所以分出区域多了2k部分,共有S(k)+2k=k^2+k+2=(k+1)^2-(k+1)+2,
即n=k+1时,S(n)=n^2-n+2也成立。
【②【数森老师】】在瓜皮最多的条件下。关于瓜瓤数的最大值,【数森老师】已经指出【它就是n个平面划分空间的数目 Q(n) = (n^3+5n+6)/6】
【③【常规老师】】在瓜皮最多的条件下。
关于瓜瓤数的最小值D(n),考虑到可以使一块瓜瓤带两个皮的情况(我本来的思维方式有局限性),那么只要我们每刀都垂直于同一个平面α(见常规老师的图)。
D(n)就是n条直线分割平面的最多部分的数目D(n) = 1+n(n+1)/2 。
【④常规老师结论】S(n)与 D(n)之间关系S(n)=2*D(n)-2n。
山路水桥的等价解释,虚拟切口平面α下瓜皮数为2*D(n),真正被虚拟切口切到的仅2n块瓜皮,所以S(n)=2*D(n)-2n。
第一问:最多可切出几片瓜皮=======>S(4)=14。
第二问:在可切出最多片瓜皮数的各种情况下,
瓜瓤数最少会是几块=======>D(4)=11。
最多又会是几块=======>Q(4)=15。
收起