数学，急！！！！如何简单比较n的（n+
【1】最简单的方法【利用导数】
设 f(x)=(lnx)/x，则 f'(x)=(1-lnx)/x^2，
当 0＜x＜e 时，f'(x)＞0，f(x)单调增加；
当 x＞e 时，f'(x)＜0，f(x)单调减少。
即 a＜b＜e 时，
(lna)/a＜(lnb)/b→b(lna)＜a(lnb)→a^b＜b^a；
而 e＜a＜b＜e 时，
(lna)/a＞(lnb)/b→b(lna)＞a(lnb)→a^b＞b^a。
所以，根据单调性：
①n＜n+1＜e，即 n=1 时，肯定有 1^2＜2^1；
②n=2时，只能尝试出 2^3＜3^2；
③n≥3时，e＜n＜n+1 ，有n^(n+1)＞(...全部
【1】最简单的方法【利用导数】
设 f(x)=(lnx)/x，则 f'(x)=(1-lnx)/x^2，
当 0＜x＜e 时，f'(x)＞0，f(x)单调增加；
当 x＞e 时，f'(x)＜0，f(x)单调减少。
即 a＜b＜e 时，
(lna)/a＜(lnb)/b→b(lna)＜a(lnb)→a^b＜b^a；
而 e＜a＜b＜e 时，
(lna)/a＞(lnb)/b→b(lna)＞a(lnb)→a^b＞b^a。
所以，根据单调性：
①n＜n+1＜e，即 n=1 时，肯定有 1^2＜2^1；
②n=2时，只能尝试出 2^3＜3^2；
③n≥3时，e＜n＜n+1 ，有n^(n+1)＞(n+1)^n，即
3^4＞4^3，4^5＞5^4，5^6＞6^5，6^7＞7^6，……
【2】不用导数，思路就很复杂，
n=1,2，同上验证。
n≥3时，
(n+1)^n=n^n+[C(n,1)]n^(n-1)+[C(n,2)]n^(n-2)+[C(n,3)]n^(n-3)+……+[C(n,n-2)]n^2+[C(n,n-1)]n+1,
当 k=2,3,4,……，n-1 时，
C(n,n-k)＜n^(n-k) → [C(n,n-k)]n^k＜n^n，
[C(n,n-1)]n+1=n^2+1＜n^n,
这样就有
(n+1)^n＜n^n+n^n+n^n+……+n^n（共n项）
=n*n^n=n^(n+1)
。
收起
