数学如图所示,抛物线y^=4X的
如图所示,抛物线y^=4X的顶点为o,点A的坐标为(5,0),倾斜角为45度的直线L与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M,N两点,求三角形AMN面积最大时直线L的方程,并求三角形AMN的最大面积。
解： M（x1，y1），N（x2，y2）所在直线方程： y=x+m
联立： y^=4X y=x+m
x＾+（2m-4）x+m＾=0
x1+x2=（4-2m）
x1x2=m＾
|MN|=√{（1+1）[（x1+x2）＾-4x1x2]}
=4√[2（1-m）]
点A（5，0）到直线y=x+m距离： d=|5+m|/√2
∵直线L与线段OA相交(不经过点O或点A...全部
如图所示,抛物线y^=4X的顶点为o,点A的坐标为(5,0),倾斜角为45度的直线L与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M,N两点,求三角形AMN面积最大时直线L的方程,并求三角形AMN的最大面积。
解： M（x1，y1），N（x2，y2）所在直线方程： y=x+m
联立： y^=4X y=x+m
x＾+（2m-4）x+m＾=0
x1+x2=（4-2m）
x1x2=m＾
|MN|=√{（1+1）[（x1+x2）＾-4x1x2]}
=4√[2（1-m）]
点A（5，0）到直线y=x+m距离： d=|5+m|/√2
∵直线L与线段OA相交(不经过点O或点A)
∴交点Q（xq，0） 0＜xq＜5
xq=-m -5＜m＜-1
∴d=|5+m|/√2=（5+m）/√2
Samn=（1/2）×|MN|×d=（1/2）×4√[2（1-m）]×（5+m）/√2
=2（5+m）√（1-m）
S＾=4（1-m）（5+m）＾=2（2-2m）（5+m）（5+m）≤
2[（2-2m+5+m+5+m）/3]＾3=128
∴Samn≤8√2
当且仅当2-2m=5+m，既m=-1时，取等号
∴直线为y=x-1时，三角形AMN面积取最大值为8√2。
收起
