已知函数f(x)=ax^3+bx
已知函数f(x)=ax^3+bx^2+(b-a)x (a b 不同时为零）
（1）当a=1/3时 x属于【-3，-1】是f(x)的导函数大于0成立 求b范围
当a=1/3时，f(x)=(1/3)x^3+bx^2+(b-1/3)x
则，f'(x)=x^2+2bx+(b-1/3)
已知x∈[-3,-1]时，f'(x)＞0
则：
f'(-3)＞0，且f'(-1)＞0
===> 9-6b+b-(1/3)＞0，且1-2b+b-(1/3)＞0
===> 5b＜26/3，且b＜2/3
===> b＜26/15，且b＜2/3
===> b＜2/3
（2）求证 f(x)导函数在（-1,0）内至少有一个零点
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已知函数f(x)=ax^3+bx^2+(b-a)x (a b 不同时为零）
（1）当a=1/3时 x属于【-3，-1】是f(x)的导函数大于0成立 求b范围
当a=1/3时，f(x)=(1/3)x^3+bx^2+(b-1/3)x
则，f'(x)=x^2+2bx+(b-1/3)
已知x∈[-3,-1]时，f'(x)＞0
则：
f'(-3)＞0，且f'(-1)＞0
===> 9-6b+b-(1/3)＞0，且1-2b+b-(1/3)＞0
===> 5b＜26/3，且b＜2/3
===> b＜26/15，且b＜2/3
===> b＜2/3
（2）求证 f(x)导函数在（-1,0）内至少有一个零点
f(x)=ax^3+bx^2+(b-a)x
所以，f'(x)=3ax^2+2bx+(b-a)
则，f'(-1)=3a-2b+b-a=2a-b
f'(0)=b-a
则，f'(-1)*f'(0)=(2a-b)*(b-a)=2ab-2a^2-b^2+ab
=-2a^2+3ab-b^2=-2*[a^2-(3/2)ab+(1/2)b^2]
=-2*{[a-(3/4)b]^2-(b^2/16)]
……
（3）若f(x)为奇函数 且在x=1处切线垂直于直线 x+2y-3=0关于x的方程f(x)=-1/4t在【-1，t]上有且只有一个实根，求t的范围。
f(x)=ax^3+bx^2+(b-a)x为奇函数，则b=0
则，f(x)=ax^3-ax（a≠0）
那么，f'(x)=3ax^2-a
所以，它在x=1处切线的斜率k=f'(1)=3a-a=2a
已知切线与x+2y-3=0垂直，则k=2a=-1/k'=2
所以，a=1
则，f(x)=x^3-x
那么，f(x)=-1/4t===> x^3-x=-1/4t在[-1,t]上有且只有一个实数根
令，g(x)=x^3-x+(1/4)t
则，g(x)在[-1,t]上有且只有一个零点
那么，由介值定理知，g(-1)*g(t)≤0
===> (1/4)t*[t^3-t+(1/4)t]≤0
===> t*[t^3-(3/4)t]≤0
===> t^2*[t^2-(3/4)]≤0
===> t^2-(3/4)≤0，或者t=0
===> -√3/2≤t≤√3/2。
收起
