求助几何证明
已知一半圆⊙O，AB是直径，与半圆相内切的⊙Q切AB于C，CD是⊙Q的直径，过点A，B作⊙O的切线，分别与AO，BO的延长线交于M，N。
求证 N，D，M三点共线。
猜测问题应该：
已知一半圆⊙O，AB是直径，与半圆相内切的⊙Q切AB于C，CD是⊙Q的直径，过点A，B作⊙O的切线，分别与AQ，BQ的延长线交于M，N。
求证 N，D，M三点共线。
为证上述问题首先给出两个引理：
引理1 已知一半圆⊙O，AB是直径，与半圆相内切的⊙Q切AB于C，
则 1/AC+1/BC=1/QC。
证明 连OQ，QC。 不失一般性设AC>BC。
在RtΔOCQ中，OQ=AB/2-QC,OC=AB/2-B...全部
已知一半圆⊙O，AB是直径，与半圆相内切的⊙Q切AB于C，CD是⊙Q的直径，过点A，B作⊙O的切线，分别与AO，BO的延长线交于M，N。
求证 N，D，M三点共线。
猜测问题应该：
已知一半圆⊙O，AB是直径，与半圆相内切的⊙Q切AB于C，CD是⊙Q的直径，过点A，B作⊙O的切线，分别与AQ，BQ的延长线交于M，N。
求证 N，D，M三点共线。
为证上述问题首先给出两个引理：
引理1 已知一半圆⊙O，AB是直径，与半圆相内切的⊙Q切AB于C，
则 1/AC+1/BC=1/QC。
证明 连OQ，QC。
不失一般性设AC>BC。
在RtΔOCQ中，OQ=AB/2-QC,OC=AB/2-BC,AC+BC=AB。
由勾股定理得:
OQ^2=QC^2+OC^2
(AB/2-QC)^2=(AB/2-BC)^2+QC^2
AB*QC=-AB*BC+BC^2
(AC+BC)*QC=BC*AC
1/AC+1/BC=1/QC
引理2 已知一半圆⊙O，AB是直径，与半圆相内切的⊙Q切AB于C，CD是⊙Q的直径，过点A，B作⊙O的切线，分别与AQ，BQ的延长线交于M，N。
则 AN=AC,BM=BC。
证明 连QC。因为AN∥QC∥BN，所以可得:
QC/AN=BC/AB AN=AB*QC/BC。
由引理1知 1/AC+1/BC=1/QC
AC=(AC+BC)*QC/BC AC=AB*QC/BC。
所以AN=AC。
同理可证 BC=BM。
下面根据上述两个引理来证明N,D,M三点共线。
简证 连MN,设CQ与MN交于E。
由AN∥CE∥BN可得:
EQ/MB=NE/NM=AC/AB QE=AC*BM/AB
根据引理2知 BM=BC,所以
QE=AC*BC/AB。
根据引理1知:QC=AC*BC/AB。即
QD=AC*BC/AB。
故QE=QD,即D与E重合。
因此 N，D，M三点共线。
。收起
