高二立体几何已知正三棱锥的高为3
设正三棱锥V-ABC的底面的边长为x,顶点V在底面ABC的射影是O。直线AO与BC交于点E。那么O是底面正三角形的中心,所以E是BC的中点(BE=EC)。-->OE=AE/3=√3x/6。
在等腰△VAB中,VE是BC的中线和高。
因为OE⊥BC并且VE⊥BC,所以∠VEO就是二面角V-BC-A的平面角。
从S(△VBC)=1/2*VE*x=6√3得到VE=(12√3)/x。
在直角△VBC中,VE^2=VO^2+OE^2就是[(12√3)/x)]^2=3^2+(√3x/6)^2
整理得到:144*3/x^2=(x^2)/12+9--->x^4-108x^2-5184=0
解得x^2=...全部
设正三棱锥V-ABC的底面的边长为x,顶点V在底面ABC的射影是O。直线AO与BC交于点E。那么O是底面正三角形的中心,所以E是BC的中点(BE=EC)。-->OE=AE/3=√3x/6。
在等腰△VAB中,VE是BC的中线和高。
因为OE⊥BC并且VE⊥BC,所以∠VEO就是二面角V-BC-A的平面角。
从S(△VBC)=1/2*VE*x=6√3得到VE=(12√3)/x。
在直角△VBC中,VE^2=VO^2+OE^2就是[(12√3)/x)]^2=3^2+(√3x/6)^2
整理得到:144*3/x^2=(x^2)/12+9--->x^4-108x^2-5184=0
解得x^2=144,-36(舍去负根),故x=12。
因此tan(VEO)=VO/OE=3/[√3*12/6]=√3/2
所以侧面和底面的二面角是arctan(√3/2)。
。收起
