已知函数f（x）=x^2+2x+alnx
（1）若函数f（x）在区间【0，1】上恒为单调函数，求a范围
（2）当t≥1时不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求a的范围
(1) f'(x)=2x+2+a/x=(2x^2+2x+a)/x
因为x>0,所以f'(x)的符号由二次函数g(x)=x^2+x+a/2决定。
二次函数g(x)的对称轴为x=-1/2=0, g(x)在(0，1)上恒大于0，因此f(x)在(0，1)单调增加。
因此 若函数f（x）在区间(0，1)上恒为单调函数, a>=0或者a=2f(t)-3
2t^2-4t+2+aln(2t-1)=2lnt>=0
2(t-1)^2>+alm(2t-1)-2lnt>=0
设x=t-1, x>=0, 上面不等式等价于
2x^2+aln(2x+1)-2aln(x+1)>=0
ln(2x+1)0。
2x^2...全部
(1) f'(x)=2x+2+a/x=(2x^2+2x+a)/x
因为x>0,所以f'(x)的符号由二次函数g(x)=x^2+x+a/2决定。
二次函数g(x)的对称轴为x=-1/2=0, g(x)在(0，1)上恒大于0，因此f(x)在(0，1)单调增加。
因此 若函数f（x）在区间(0，1)上恒为单调函数, a>=0或者a=2f(t)-3
2t^2-4t+2+aln(2t-1)=2lnt>=0
2(t-1)^2>+alm(2t-1)-2lnt>=0
设x=t-1, x>=0, 上面不等式等价于
2x^2+aln(2x+1)-2aln(x+1)>=0
ln(2x+1)0。
2x^2+aln[(2x+1)/(x^2+2x+1)]>=0
ln[(2x+1)/(x^2+2x+1)]=ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]>=-x^2/(x^2+2x+1)]。
所以如果2x^2-ax^2/(x^2+2x+1)]>=0, 即2(x+1)^2-a>=0,那么原不等式自然成立。
2(x+1)^2-a>=0恒成立对x>=0, 那么a2, 因为当x--->0+时， 极限x^2/ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=-1, 因此对充分小的正数x,2x^2+aln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=ax^2*[2/a+ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]/x^2]<0。
综上， a<=2。收起
