几何竞赛题在锐角三角形ABC中,
在锐角三角形ABC中,BE,CF为高,BM,CN为角平分线。证明锐角三角形ABC的内心I在线段EF上的充要条件是外心O在MN上。
简证 △ABC为锐角三角形,所以外心O在形内。
设BC=a,CA=b,AB=c,O到三边BC,CA,AB的距离分别为X,Y,Z。 则
X=R*cosA,Y=R*cosB,Z=R*cosC,
AM=bc/(a+c),AN=bc/(a+b),
AE=c*cosA,AF=b*cosA。
(一),O在MN上。
因为S(AMN)=S(AOM)+S(AON)
S(ABC)*(AM/AC)*(AN/AB)=S(AOM)+S(AON)
(aR*cosA+bR*cosB+cR*...全部
在锐角三角形ABC中,BE,CF为高,BM,CN为角平分线。证明锐角三角形ABC的内心I在线段EF上的充要条件是外心O在MN上。
简证 △ABC为锐角三角形,所以外心O在形内。
设BC=a,CA=b,AB=c,O到三边BC,CA,AB的距离分别为X,Y,Z。
则
X=R*cosA,Y=R*cosB,Z=R*cosC,
AM=bc/(a+c),AN=bc/(a+b),
AE=c*cosA,AF=b*cosA。
(一),O在MN上。
因为S(AMN)=S(AOM)+S(AON)
S(ABC)*(AM/AC)*(AN/AB)=S(AOM)+S(AON)
(aR*cosA+bR*cosB+cR*cosC)*[b/(a+b)]*[c/(a+c)]
=bcR[cosC/(a+b)+cosB/(a+c)]
cosA=cosB+cosC (1)
(二)I在EF上
因为S(AEF)=S(AIE)+S(AIF)
S(ABC)*(AE/AC)*(AF/AB)=S(AIE)+S(AIF)
r(a+b+c)(cosA)^2=r(b+c)cosA
(a+b+c)cosA=b+c
(a+b+c)cosA=c*cosA+a*cosC+b*cosA+a*cosB
cosA=cosB+cosC (2)
因此 O在MN上I在EF上。
。收起
