排列组合问题

排列组合问题

出题人补充有点不清楚，为什么是“有的”排列顺时针和逆时针其实对应的是相同的排列？ 我猜是所有排列反过来写都认为没有区别，即只有相邻关系是重要的。先前的解答基本思路不需要改变，只是对称群增大了，答案变成了171，具体如下： 对于两个1间距是1,2,3的情况，两个1定义了一个对称轴（它们连线的中垂线），一般的填法镜像反射过去会改变，依题意应算为一种，所以算重了。 镜像对称的填法有3! 种，所以不等价的有 3! + (6!/ 2^3 - 3!)/2 = 48种。 对于两个1间距是4的情况，由于它们占据了对径点，除了中心对称，还有两个镜像反射对称（分别以两个1的连线及其中垂线为对称线），一般的情...全部

  出题人补充有点不清楚，为什么是“有的”排列顺时针和逆时针其实对应的是相同的排列？ 我猜是所有排列反过来写都认为没有区别，即只有相邻关系是重要的。先前的解答基本思路不需要改变，只是对称群增大了，答案变成了171，具体如下： 对于两个1间距是1,2,3的情况，两个1定义了一个对称轴（它们连线的中垂线），一般的填法镜像反射过去会改变，依题意应算为一种，所以算重了。
  镜像对称的填法有3! 种，所以不等价的有 3! + (6!/ 2^3 - 3!)/2 = 48种。 对于两个1间距是4的情况，由于它们占据了对径点，除了中心对称，还有两个镜像反射对称（分别以两个1的连线及其中垂线为对称线），一般的情况4个填法等同1个，但分别有3!种情况具有中心对称和两个镜像对称，而且它们各不相同，所以不等价的填法有 (3! + 3! + 3!) / 2 + (6!/ 2^3 - 3! - 3! - 3!) / 4 = 27 (说明：前面除以2是因为每个具有一个对称性的排列只与另一个等价，比如12341234与14321432，123214341与14341232)， 总之，不等价的填法共有 3 * 48 + 27 = 171 种。
   ================================= 先选两个位置给1，剩下的就好填了。 由于旋转对称性，两个1的距离（间隔）才是有意义的。 两个1的距离有1,2,3,4四种可能， 对于前三种可能中的任一种，剩下的6个数有6！/ 2^3 = 90种不同的填法。
   但对于间隔为4，即两个1在对径点，的情况，稍微有一点不同，比如12341432和14321234其实是一样的。这样的重复排列共有3！= 6对，所以共有 90 - 6 = 84种不同的填法。 总共有 3 * 90 + 84 = 354 种不等价的填法。
   ------------------------ 以上是最开始的解答，与楼下用群论的结果不一样，赶紧查错，原来间隔是4的情况想错了。如果abc与efg不相等，则1abc1efg 和 1efg1abc是一样的。
  像这样的共有(90 - 6！)/2 = 42对，所以总共有 3 * 90 + (90 - 42) = 318 还是群论强大。收起