高中圆与方程的题2已知实数x、y
已知实数x、y满足方程x^2+y^2-4x+1=0
x^2+y^2-4x+1=0
===> (x-2)^2+y^2=3…………………………………………（1）
它表示的是圆心在(2,0)，半径为√3的圆
1。 求y/x的最大值和最小值
y/x=(y-0)/(x-0)，表示的是圆上一点(x,y)与原点(0,0)连线的直线的斜率
很显然，当过原点的直线与圆相切时候有最大（最小）值
设过原点的直线为y=kx，即kx-y=0
那么当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径
即，d=|2k-0|/√(k^2+1)=√3
===> |2k|=√3(k^2+1)
===> 4k^2=3(k^2+1)...全部
已知实数x、y满足方程x^2+y^2-4x+1=0
x^2+y^2-4x+1=0
===> (x-2)^2+y^2=3…………………………………………（1）
它表示的是圆心在(2,0)，半径为√3的圆
1。
求y/x的最大值和最小值
y/x=(y-0)/(x-0)，表示的是圆上一点(x,y)与原点(0,0)连线的直线的斜率
很显然，当过原点的直线与圆相切时候有最大（最小）值
设过原点的直线为y=kx，即kx-y=0
那么当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径
即，d=|2k-0|/√(k^2+1)=√3
===> |2k|=√3(k^2+1)
===> 4k^2=3(k^2+1)=3k^2+3
===> k^2=3
===> k=±√3
所以，y/x的最大值为√3，最小值为-√3
2。
求y-x的最大值和最小值
由(1)式，令x=2+√3cosα，y=√3sinα
则，y-x=√3sinα-(2+√3cosα)=√3(sinα-cosα)-2
=√3*√2*sin[α-(π/4)]-2
=√6sin[α-(π/4)]-2
因为sin[α-(π/4)]∈[-1,1]
所以，y-x的最大值为√6-2，最小值为-√6-2
3。
求x^2+y^2的最大值和最小值
x^2+y^2=(x-0)^2+(y-0)^2
表示的是圆上的点与原点距离的平方
原点与圆心(2,0)的距离d=√[(2-0)^2+(0-0)^2]=2
那么，x^2+y^2的最大值=(2+√3)^2，最小值=(2-√3)^2。
收起
